【題目】如圖,在三棱錐A﹣BCD中,AD⊥平面BCD,CB=CD,AD=DB,P,Q分別在線段AB,AC上,AP=3PB,AQ=2QC,M是BD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:DQ∥平面CPM;
(Ⅱ)若二面角C﹣AB﹣D的大小為 ,求∠BDC的正切值.
【答案】證明:(Ⅰ)取AB的中點(diǎn)E,
則 ,所以EQ∥PC.
又EQ平面CPM,所以EQ∥平面CPM.
又PM是△BDE的中位線,所以DE∥PM,
從而DE∥平面CPM.
所以平面DEQ∥平面CPM,
故DQ∥平面CPM.
解:(Ⅱ)解法1:由AD⊥平面BCD知,AD⊥CM
由BC=CD,BM=MD,知BD⊥CM,
故CM⊥平面ABD.
由(Ⅰ)知DE∥PM,而DE⊥AB,故PM⊥AB.
所以∠CPM是二面角C﹣AB﹣D的平面角,
即 .
設(shè)PM=a,則 , ,
在Rt△CMD中, .
所以∠BDC的正切值為 .
解法2:以M為坐標(biāo)原點(diǎn),MC,MD,ME所在的直線分別為x軸,y軸,z軸,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)MC=a,MD=b,則C(a,0,0),B(0,﹣b,0),A(0,b,2b)
則 ,
設(shè) 平面ABC的一個(gè)法向量,
則 即 取
平面ABD的一個(gè)法向量為 ,
所以 ,所以
在Rt△CMD中,
所以∠BDC的正切值為 .
【解析】(Ⅰ)取AB的中點(diǎn)E,則EQ∥PC,從而EQ∥平面CPM,由中位線定理得DE∥PM,從而DE∥平面CPM,進(jìn)而平面DEQ∥平面CPM,由此能證明DQ∥平面CPM.(Ⅱ)法1:推導(dǎo)出AD⊥CM,BD⊥CM,從而CM⊥平面ABD,進(jìn)而得到∠CPM是二面角C﹣AB﹣D的平面角,由此能求出∠BDC的正切值.法2:以M為坐標(biāo)原點(diǎn),MC,MD,ME所在的直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出∠BDC的正切值.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若二次函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且1≤f(﹣1)≤2,3≤f(1)≤4,求f(﹣2)的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列四個(gè)命題中,正確的有( ) ①兩個(gè)變量間的相關(guān)系數(shù)r越小,說(shuō)明兩變量間的線性相關(guān)程度越低;
②命題“x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是:“對(duì)x∈R,均有x2+x+1>0”;
③命題“p∧q為真”是命題“p∨q為真”的必要不充分條件;
④若函數(shù)f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1有極值0,則a=2,b=9或a=1,b=3.
A.0 個(gè)
B.1 個(gè)
C.2 個(gè)
D.3個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分圖象如圖所示
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)分析該函數(shù)是如何通過(guò)y=sinx變換得來(lái)的?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有一組數(shù)據(jù):1,1,4,5,5,5,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是( )
A.5和4
B.5和4.5
C.5和5
D.1和5
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 的離心率 ,左右焦點(diǎn)分別為 是橢圓在第一象限上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),圓 與 的延長(zhǎng)線, 的延長(zhǎng)線以及線段 都相切, 為一個(gè)切點(diǎn).
(1)求橢圓方程;
(2)設(shè) ,過(guò) 且不垂直于坐標(biāo)軸的動(dòng)點(diǎn)直線 交橢圓于 兩點(diǎn),若以 為鄰邊的平行四邊形是菱形,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分) 某中學(xué)的環(huán)保社團(tuán)參照國(guó)家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定了該校所在區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級(jí)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表(假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會(huì)超過(guò)):
空氣質(zhì)量指數(shù) | ||||||
空氣質(zhì)量等級(jí) | 級(jí)優(yōu) | 級(jí)良 | 級(jí)輕度污染 | 級(jí)中度污染 | 級(jí)重度污染 | 級(jí)嚴(yán)重污染 |
該社團(tuán)將該校區(qū)在年天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為樣本,繪制的頻率分布直方圖如下圖,把該直方圖所得頻率估計(jì)為概率.
(Ⅰ)請(qǐng)估算年(以天計(jì)算)全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)(未滿一天按一天計(jì)算);
(Ⅱ)該校年月、日將作為高考考場(chǎng),若這兩天中某天出現(xiàn)級(jí)重度污染,需要凈化空氣費(fèi)用元,出現(xiàn)級(jí)嚴(yán)重污染,需要凈化空氣費(fèi)用元,記這兩天凈化空氣總費(fèi)用為元,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合A={x|x2+ax﹣6a2≤0},B={x||x﹣2|<a},
(1)當(dāng)a=1時(shí),求A∩B和A∪B;
(2)當(dāng)BA時(shí),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),設(shè).
(1)判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并給出證明;
(2)首項(xiàng)為的數(shù)列滿足:①;②.其中.求證:對(duì)于任意的,均有.
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