Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線C：（）的焦點為

（1）動直線l過F點且與拋物線C交于M，N兩點，點M在y軸的左側，過點M作拋物線C準線的垂線，垂足為M1，點E在上，且滿足連接并延長交y軸于點D，的面積為，求拋物線C的方程及D點的縱坐標；

（2）點H為拋物線C準線上任一點，過H作拋物線C的兩條切線,，切點為A，B，證明直線過定點，并求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（0，4）（2）證明見解析，面積最小值為4

【解析】

(1)由焦點坐標，可得拋物線的方程,設，由向量共線定理可得,求得M的坐標，代入拋物線方程可得，即可求解；

（2））設點，，，根據導數的幾何意義，求得拋物線在A, B處的切線的方程，由兩點確定一直線可得AB的方程，進而得到恒過定點F,再討論t=0, ，寫出即可求最值.

（1）因為，所以拋物線C：，

設，

因為，，，

所以，，

又因為，，推出，

M在拋物線C上，，

解得，故 D（0,4）

（2）設點，，.

由C：，

即，得，

所以拋物線C：在點處的切線的方程為，

即，

因為，，

因為在切線上，

所以①

同理②；

綜合①②得，點，的坐標滿足方程，

即直線恒過拋物線焦點.

當時，此時，可知，

當時，此時直線的斜率為，得，

于是，而，

把直線代入C：中，消去x得，，

即，

當時，最小，且最小值為4.