【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點D是AB的中點.
(1)求證:AC1∥平面CDB1
(2)求證:AC⊥BC1
(3)求直線AB1與平面BB1C1C所成的角的正切值.
【答案】
(1)證明:如圖:
設BC1∩B1C=O,則O為BC1的中點,連接OD,
∵D為AB的中點,∴OD∥AC1,
又∵OD平面CDB1,AC1平面CDB1,
∴AC1∥平面CDB1.
(2)證明:∵AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC.
又∵C1C∥AA1,AA1⊥底面ABC,∴C1C⊥底面ABC,∴AC⊥CC1.
又BC∩CC1=C,∴AC⊥平面BCC1B1.
而BC1平面BCC1B1,∴AC⊥BC1.
(3)證明:由(2)得AC⊥平面B1BCC1,
∴直線B1C是斜線AB1在平面B1BCC1上的射影,
∴∠AB1C是直線AB1與平面B1BCC1所成的角,
在RT△AB1C中,B1C=4 ,AC=3,
∴tan∠AB1C= = ,
直線AB1與平面BB1C1C所成的角的正切值為 .
【解析】(1)設BC1∩B1C=O,由三角形的中位線性質(zhì)可得OD∥AC1 , 從而利用線面平行的判定定理證明AC1∥平面CDB1 , (2)利用勾股定理證明AC⊥BC,證明C1C⊥底面ABC,可得AC⊥CC1 , 由線面垂直的判定定理證得AC⊥平面BCC1B1 , 從而證得AC⊥BC1 . (3)得到∠AB1C是直線AB1與平面B1BCC1所成的角,解三角形即可.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC側(cè)面PAB⊥底面ABCD,PA=AD=AB=2,BC=4.
(1)若PB中點為E.求證:AE∥平面PCD;
(2)若∠PAB=60°,求直線BD與平面PCD所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= 的定義域為A.
(1)求A;
(2)已知k>0,集合B={x| },且A∩B≠,求實數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓M:x2+(y﹣4)2=4,點P是直線l:x﹣2y=0上的一動點,過點P作圓M的切線PA、PB,切點為A、B.
(1)當切線PA的長度為2 時,求點P的坐標;
(2)若△PAM的外接圓為圓N,試問:當P運動時,圓N是否過定點?若存在,求出所有的定點的坐標;若不存在,說明理由;
(3)求線段AB長度的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有以下命題:
①如果向量 , 與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底,那么 , 的關(guān)系是不共線;
②O,A,B,C為空間四點,且向量 , , 不構(gòu)成空間的一個基底,則點O,A,B,C一定共面;
③已知向量 , , 是空間的一個基底,則向量 + , ﹣ , 也是空間的一個基底;
④△ABC中,A>B的充要條件是sinA>sinB.
其中正確的命題個數(shù)是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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