【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥平面ABCD,點M在線段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD= ,AB=4.
(1)求證:M為PB的中點;
(2)求二面角B﹣PD﹣A的大;
(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.
【答案】
(1)證明:如圖,設(shè)AC∩BD=O,
∵ABCD為正方形,∴O為BD的中點,連接OM,
∵PD∥平面MAC,PD平面PBD,平面PBD∩平面AMC=OM,
∴PD∥OM,則 ,即M為PB的中點
(2)解:取AD中點G,
∵PA=PD,∴PG⊥AD,
∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,
∴PG⊥平面ABCD,則PG⊥AD,連接OG,則PG⊥OG,
由G是AD的中點,O是AC的中點,可得OG∥DC,則OG⊥AD.
以G為坐標原點,分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標系,
由PA=PD= ,AB=4,得D(2,0,0),A(﹣2,0,0),P(0,0, ),C(2,4,0),B(﹣2,4,0),M(﹣1,2, ),
, .
設(shè)平面PBD的一個法向量為 ,
則由 ,得 ,取z= ,得 .
取平面PAD的一個法向量為 .
∴cos< >= = .
∴二面角B﹣PD﹣A的大小為60°
(3)解: ,平面PAD的一個法向量為 .
∴直線MC與平面BDP所成角的正弦值為|cos< >|=| |=| |=
【解析】(1)設(shè)AC∩BD=O,則O為BD的中點,連接OM,利用線面平行的性質(zhì)證明OM∥PD,再由平行線截線段成比例可得M為PB的中點;(2)取AD中點G,可得PG⊥AD,再由面面垂直的性質(zhì)可得PG⊥平面ABCD,則PG⊥AD,連接OG,則PG⊥OG,再證明OG⊥AD.以G為坐標原點,分別以GD、GO、GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標系,求出平面PBD與平面PAD的一個法向量,由兩法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小;(3)求出 的坐標,由 與平面PBD的法向量所成角的余弦值的絕對值可得直線MC與平面BDP所成角的正弦值.
【考點精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識點,需要掌握已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點,所成的角為,則才能正確解答此題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的對稱中心為M(x0 , y0),記函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),f′(x)的導函數(shù)為f″(x),則有f″(x0)=0.若函數(shù)f(x)=x3﹣3x2 , 則可求出f( )+f( )+f( )+…+f( )+f( )的值為( )
A.4029
B.﹣4029
C.8058
D.﹣8058
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,橢圓: 的離心率是,且直線: 被橢圓截得的弦長為.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若直線與圓: 相切:
(i)求圓的標準方程;
(ii)若直線過定點,與橢圓交于不同的兩點、,與圓交于不同的兩點、,求的取值范圍.
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【題目】函數(shù)f(x)=(kx+4)lnx﹣x(x>1),若f(x)>0的解集為(s,t),且(s,t)中只有一個整數(shù),則實數(shù)k的取值范圍為( )
A.( ﹣2, ﹣ )
B.( ﹣2, ﹣ ]
C.( ﹣ , ﹣1]
D.( ﹣ , ﹣1)
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【題目】給定兩個命題,命題P:函數(shù)f(x)=(a﹣1)x+3在R上是增函數(shù); 命題q:關(guān)于x的方程x2﹣x+a=0有實數(shù)根. 若p∧q為假命題,p∨q為真命題,求實數(shù)a的范圍.
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【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+(2b﹣1)x+6b﹣a為偶函數(shù),且f(x+1)﹣f(x)=2x+1.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設(shè)g(x)=f(x)+λx,求函數(shù)g(x)在[0,1]內(nèi)的最小值.
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【題目】設(shè)關(guān)于x的不等式|x﹣2|<a(a∈R)的解集為A,且 ∈A,﹣ A.
(1)對任意的x∈R,|x﹣1|+|x﹣3|≥a2+a恒成立,且a∈N,求a的值.
(2)若a+b=1,a,b∈R+ , 求 + 的最小值,并指出取得最小值時a的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知是橢圓的左、右焦點,為坐標原點,點在橢圓上,線段與軸的交點為,且.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)圓是以為直徑的圓,直線與圓相切,并與橢圓交于不同的兩點,,當,且滿足時,求的面積的取值范圍.
請考生在第22、23兩題中任選一題作答.注意:只能做所選定的題目.如果多做,則按所做的第一個題目計分.
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