【題目】設數列{an}的前n項和為Sn , 且(Sn﹣1)2=anSn(n∈N*).
(1)求S1 , S2 , S3的值;
(2)求出Sn及數列{an}的通項公式;
(3)設bn=(﹣1)n﹣1(n+1)2anan+1(n∈N*),求數列{bn}的前n項和為Tn .
【答案】
(1)解:∵(Sn﹣1)2=anSn(n∈N*),
∴n≥2時,(Sn﹣1)2=(Sn﹣Sn﹣1)Sn(n∈N*).
∴n=1時, ,解得a1= =S1.
n=2時, ,解得S2= .
同理可得:S3=
(2)解:由(1)可得:n≥2時,(Sn﹣1)2=(Sn﹣Sn﹣1)Sn(n∈N*).
化為:Sn= .(*)
猜想Sn= .
n≥2時,代入(*),左邊= ;右邊= = ,
∴左邊=右邊,猜想成立,n=1時也成立.
∴n≥2時,an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ = ,n=1時也成立.
∴Sn= ,an=
(3)解:bn=(﹣1)n﹣1(n+1)2anan+1(n∈N*)=(﹣1)n﹣1 =(﹣1)n﹣1 ,
∴n=2k(k∈N*)時,數列{bn}的前n項和為
Tn= ﹣ + +…+ ﹣
= = ﹣ .
n=2k﹣1(k∈N*)時,數列{bn}的前n項和為
Tn= ﹣ + +…﹣ +
= = + .
∴Tn= ×
【解析】(1)由(Sn﹣1)2=anSn(n∈N*),分別取n=1,2,3即可得出.(2)由(1)可得:n≥2時,(Sn﹣1)2=(Sn﹣Sn﹣1)Sn(n∈N*).化為:Sn= .猜想Sn= .代入驗證即可得出.(3)bn=(﹣1)n﹣1(n+1)2anan+1(n∈N*)=(﹣1)n﹣1 =(﹣1)n﹣1 ,對n分類討論,利用“裂項求和”方法即可得出.
【考點精析】關于本題考查的數列的前n項和和數列的通項公式,需要了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系;如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能得出正確答案.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=120°,AB=AC=1,AA1=2,若棱AA1在正視圖的投影面α內,且AB與投影面α所成角為θ(30°≤θ≤60°),設正視圖的面積為m,側視圖的面積為n,當θ變化時,mn的最大值是( )
A.2
B.4
C.3
D.4
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】下列說法正確的是( ).
A. ,“”是“”的必要不充分條件
B. “且為真命題”是“或為真命題” 的必要不充分條件
C. 命題“,使得”的否定是:“”
D. 命題:“”,則是真命題
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在數列{ }中,已知,,,則等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
將數列的等式關系兩邊取倒數是公差為的等差數列,再根據等差數列求和公式得到數列通項,再取倒數即可得到數列{}的通項.
將等式兩邊取倒數得到,是公差為的等差數列,=,根據等差數列的通項公式的求法得到,故=.
故答案為:B.
【點睛】
這個題目考查的是數列通項公式的求法,數列通項的求法中有常見的已知和的關系,求表達式,一般是寫出做差得通項,但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用;還有構造新數列的方法,取倒數,取對數的方法等等.
【題型】單選題
【結束】
9
【題目】在如圖所示的銳角三角形空地中, 欲建一個面積不小于300m2的內接矩形花園(陰影部分), 則其邊長x(單位m)的取值范圍是 ( )
(A) [15,20](B) [12,25] (C) [10,30](D) [20,30]
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知數列是遞增數列,且對,都有,則實數的取值范圍是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由{an}是遞增數列,得到an+1>an,再由“an=n2+λn恒成立”轉化為“λ>﹣2n﹣1對于n∈N*恒成立”求解.
∵{an}是遞增數列,
∴an+1>an,
∵an=n2+λn恒成立
即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,
∴λ>﹣2n﹣1對于n∈N*恒成立.
而﹣2n﹣1在n=1時取得最大值﹣3,
∴λ>﹣3,
故選:D.
【點睛】
本題主要考查由數列的單調性來構造不等式,解決恒成立問題.研究數列單調性的方法有:比較相鄰兩項間的關系,將an+1和an做差與0比較,即可得到數列的單調性;研究數列通項即數列表達式的單調性.
【題型】單選題
【結束】
13
【題目】已知數列{an}滿足a1=1,且an=an-1+2n1 (n≥2 ),則a20=________.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】為了得到函數y=sin(2x﹣ )的圖象,只需把函數y=sin(2x+ )的圖象( )
A.向左平移 個長度單位
B.向右平移 個長度單位
C.向左平移 個長度單位
D.向右平移 個長度單位
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】等差數列{an}的各項均為正數,a1=3,前n項和為Sn,{bn}為等比數列,b1=1,且b2S2=64,b3S3=960.
(1)求an與bn;
(2)求
【答案】(1)an=2n+1,bn=8n-1.(2)
【解析】
(1)設{an}的公差為d,{bn}的公比為q,由題設條件建立方程組,解方程組得到d和q的值,從而求出an與bn;(2)由Sn=n(n+2),知,由此可求出的值.
(1)設{an}的公差為d,{bn}的公比為q,則d為正數,
an=3+(n-1)d,bn=qn-1,
依題意有,
解得或 (舍去).
故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.
(2)Sn=3+5+…+(2n+1)=n(n+2).
所以++…+=+++…+
= (1-+-+-+…+-)
= (1+--)
=-.
【點睛】
這個題目考查的是數列通項公式的求法及數列求和的常用方法;數列通項的求法中有常見的已知和的關系,求表達式,一般是寫出做差得通項,但是這種方法需要檢驗n=1時通項公式是否適用;數列求和常用法有:錯位相減,裂項求和,分組求和等。
【題型】解答題
【結束】
21
【題目】已知函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=.
(1)當n∈N+,求f(n)的表達式;
(2)設an=nf(n),n∈N+,求證:a1+a2+…+an<2.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知有限集,如果A中元素,滿足,就稱A為元“創(chuàng)新集”;
(1)若,試寫出一個二元“創(chuàng)新集”A;
(2)若,且是二元“創(chuàng)新集”,求的取值范圍;
(3)若是正整數,求出所有的“創(chuàng)新集”;
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數y=f(x)(x∈R)d的導函數為f′(x),若f(x)﹣f(﹣x)=2x3 , 且當x≥0時,f′(x)>3x2 , 則不等式f(x)﹣f(x﹣1)>3x2﹣3x+1的解集是
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