【題目】已知有限集,如果A中元素,滿足,就稱A為元“創(chuàng)新集”;
(1)若,試寫出一個二元“創(chuàng)新集”A;
(2)若,且是二元“創(chuàng)新集”,求的取值范圍;
(3)若是正整數,求出所有的“創(chuàng)新集”;
【答案】(1);(2)或;(3);
【解析】
(1)解方程得到一組解即可;
(2)設,則一元二次方程有兩個根,再根據判別式大于0,得到的取值范圍;
(3)證明,均不存在“創(chuàng)新集”,同時證明時,存在唯一“創(chuàng)新集”
(1)由“創(chuàng)新集”的定義得:,
令,得,則;
所以為二元“創(chuàng)新集”.
(2)若,且是二元“創(chuàng)新集”,
不妨設,
則由韋達定理知,是一元二次方程的兩個根,
由,可得或,
所以或.
(3)若是正整數,不妨設中,
由,所以,
當時,,所以,
所以,顯然無解,
所以時,不存在“創(chuàng)新集”.
當時,,故只能,求得,
所以.
當時,由,
則有成立,
但對時,恒成立,
所以對恒成立,
所以對不成立,
所以時不存在“創(chuàng)新集”.
綜上所述:“創(chuàng)新集”只有.
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【題目】設數列{an}的前n項和為Sn , 且(Sn﹣1)2=anSn(n∈N*).
(1)求S1 , S2 , S3的值;
(2)求出Sn及數列{an}的通項公式;
(3)設bn=(﹣1)n﹣1(n+1)2anan+1(n∈N*),求數列{bn}的前n項和為Tn .
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【題目】雙曲線x2﹣ =1(b>0)的左、右焦點分別為F1、F2 , 直線l過F2且與雙曲線交于A、B兩點.
(1)若l的傾斜角為 ,△F1AB是等邊三角形,求雙曲線的漸近線方程;
(2)設b= ,若l的斜率存在,M為AB的中點,且 =0,求l的斜率.
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【題目】已知函數f(x)是定義在R上的偶函數,若方程f(x+1)=|x2+2x﹣3|的實根分別為x1 , x2 , …,xn , 則x1+x2+…+xn=( )
A.n
B.﹣n
C.﹣2n
D.﹣3n
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【題目】已知函數f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線y=4x+2.
(1)求a,b,c,d的值;
(2)若x≥-2時,恒有f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為 為參數),以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為 .
(1)求曲線C1 , C2的直角坐標方程;
(2)已知點P,Q分別是線C1 , C2的動點,求|PQ|的最小值.
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【題目】設f(x)=(log2x)2﹣2alog2x+b(x>0).當x= 時,f(x)有最小值﹣1.
(1)求a與b的值;
(2)求滿足f(x)<0的x的取值范圍.
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