【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-lnx。
(Ⅰ)當(dāng)a=時(shí),判斷f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)設(shè)f(x)≤x3+4x-lnx,在定義域內(nèi)恒成立,求a的取值范圍。
【答案】(1)f(x)在0<x≤1上,函數(shù)為減函數(shù);在x>1上,函數(shù)為增函數(shù);(2)a≤4.
【解析】試題分析:(1)將條件帶入求導(dǎo),得=x-,進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得函數(shù)的單調(diào)性;
(2)令H(x)= f(x)-(x3+4x-lnx)= -x3+x2-4x=x(-x2+ax-4)所以要使f(x)≤x3+4x-lnx,在定義域內(nèi)恒成立,只需H(x)≤0,在定義域內(nèi)恒成立,即x(-x2+ax-4) ≤0在x>0上恒成立,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為-x2+ax-4≤0在x>0上恒成立,進(jìn)而可得解.
試題解析:
(1)、當(dāng)a=時(shí),f(x)=x2-lnx, =x-
令導(dǎo)函數(shù)等于0,解得x=1或x=-1(舍),
所以當(dāng)>0時(shí),x>1,當(dāng)<0,0<x<1
所以f(x)在0<x≤1上,函數(shù)為減函數(shù);在x>1上,函數(shù)為增函數(shù)。
(2)令H(x)= f(x)-(x3+4x-lnx)= -x3+x2-4x=x(-x2+ax-4)
所以要使f(x)≤x3+4x-lnx,在定義域內(nèi)恒成立,只需H(x)≤0,在定義域內(nèi)恒成立,
即x(-x2+ax-4) ≤0在x>0上恒成立。
由于x>0,所以只要-x2+ax-4≤0在x>0上恒成立
所以應(yīng)滿(mǎn)足△≤0或者,所以a≤4.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x),若滿(mǎn)足(x﹣2)f′(x)>0,則必有( )
A.f(2)<f(0)<f(﹣3)
B.f(﹣3)<f(0)<f(2)
C.f(0)<f(2)<f(﹣3)
D.f(2)<f(﹣3)<f(0)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖, 都與正方形所在平面垂直, ,
(Ⅰ)求證: ⊥平面;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)與平面平行的平面交于點(diǎn),求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列各組函數(shù)中,表示同一個(gè)函數(shù)的是( )
A.f(x)= ,g(x)=x
B.f(x)=logaax(a>0,a≠1),g(x)=
C.f(x)=x,g(x)=
D.f(x)=lnx2 , g(x)=2lnx
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】9件產(chǎn)品中,有4件一等品,3件二等品,2件三等品,現(xiàn)在要從中抽出4件產(chǎn)品來(lái)檢查,至少有兩件一等品的抽取方法是( )
A.C C
B.C +C +C
C.C +C
D.C C +C C +C C
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=x3+ax2+bx+1的導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿(mǎn)足f′(x)=2a,f′(2)=﹣b,
(1)求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程;
(2)設(shè)g(x)=f′(x)ex , 求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知復(fù)數(shù)z=(2m2+3m﹣2)+(m2+m﹣2)i,(m∈R)根據(jù)下列條件,求m值.
(1)z是實(shí)數(shù);
(2)z是虛數(shù);
(3)z是純虛數(shù);
(4)z=0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)增函數(shù),滿(mǎn)足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1
(1)求f(1)、f( )的值;
(2)若滿(mǎn)足f(x)+f(x﹣8)≤2,求x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)集合A={x|1<x<2},B={x|2a﹣1<x<2a+1}.
(Ⅰ)若AB,求a的取值范圍;
(Ⅱ)若A∩B=,求a的取值范圍.
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