（07年湖南卷理）（13分）

已知（）是曲線上的點，，是數(shù)列的前項和，且滿足，，…．

（I）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；

（II）確定的取值集合，使時，數(shù)列是單調遞增數(shù)列；

（III）證明：當時，弦（）的斜率隨單調遞增．

解析：（I）當時，由已知得．

因為，所以．                …… ①

于是．                                  ……②

由②－①得．                             …… ③

于是．                                 ……  ④

由④－③得，                                 …… ⑤

所以，即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列．

（II）由①有，所以．由③有，，

所以，．

而 ⑤表明：數(shù)列和分別是以，為首項，6為公差的等差數(shù)列，

所以，，，

數(shù)列是單調遞增數(shù)列且對任意的成立．

且

．

即所求的取值集合是．

（III）解法一：弦的斜率為

任取，設函數(shù)，則

記，則，

當時，，在上為增函數(shù)，

當時，，在上為減函數(shù)，

所以時，，從而，

所以在和上都是增函數(shù)．

由（II）知，時，數(shù)列單調遞增，

取，因為，所以．

取，因為，所以．

所以，即弦的斜率隨單調遞增．

解法二：設函數(shù)，同解法一得，

在和上都是增函數(shù)，

所以，．

故，即弦的斜率隨單調遞增．

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（07年湖南卷理）（12分）

已知函數(shù)，．

（I）設是函數(shù)圖象的一條對稱軸，求的值．

（II）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（07年湖南卷理）（12分）

某地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機培訓，以提高下崗人員的再就業(yè)能力.每名下崗人員可以選擇參加一項培訓、參加兩項培訓或不參加培訓，已知參加過財會培訓的有60%，參加過計算機培訓的有75%.假設每個人對培訓項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇

相互之間沒有影響．

（I）任選1名下崗人員，求該人參加過培訓的概率；

（II）任選3名下崗人員，記為3人中參加過培訓的人數(shù)，求的分布列和期望．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（07年湖南卷理）（12分）

已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過點的動直線與雙曲線相交于兩點．

（I）若動點滿足（其中為坐標原點），求點的軌跡方程；

（II）在軸上是否存在定點，使?為常數(shù)？若存在，求出點的坐標；

若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（07年湖南卷理）（13分）

已知（）是曲線上的點，，是數(shù)列的前項和，且滿足，，…．

（I）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；

（II）確定的取值集合，使時，數(shù)列是單調遞增數(shù)列；

（III）證明：當時，弦（）的斜率隨單調遞增．

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