Question

（07年湖南卷理）（12分）

已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的動直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)．

（I）若動點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程；

（II）在軸上是否存在定點(diǎn)，使?為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由．

Answer 1

解析：由條件知，，設(shè)，．

解法一：（I）設(shè)，則則，，

，由得

即

于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，，即．

又因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326145758018.gif' width=40>兩點(diǎn)在雙曲線上，所以，，兩式相減得

，即．

將代入上式，化簡得．

當(dāng)與軸垂直時(shí)，，求得，也滿足上述方程．

所以點(diǎn)的軌跡方程是．

（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是．

代入有．

則是上述方程的兩個實(shí)根，所以，，

于是

．

因?yàn)?IMG height=23 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326145803028.gif' width=51>是與無關(guān)的常數(shù)，所以，即，此時(shí)=．

當(dāng)與軸垂直時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)可分別設(shè)為，，

此時(shí)．

故在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．

解法二：（I）同解法一的（I）有

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是．

代入有．

則是上述方程的兩個實(shí)根，所以．

．

由①②③得．…………………………………………………④

．……………………………………………………………………⑤

當(dāng)時(shí)，，由④⑤得，，將其代入⑤有

．整理得．

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程．

當(dāng)與軸垂直時(shí)，，求得，也滿足上述方程．

故點(diǎn)的軌跡方程是．

（II）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)點(diǎn)，使為常數(shù)，

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，由（I）有，．

以上同解法一的（II）．