在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列，acosC+ccosA=
4
7
7
bsinB，
BA
•
BC
=6，求sinB及△ABC的面積．
分析：由a，b及c成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，可得出b不是最大邊，然后利用正弦定理化簡已知的等式，左邊再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，根據(jù)sinB不為0，等式兩邊同時除以sinB，可得出sinB的值，由b不是最大邊，可得出B不為最大角，即B為銳角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosB的值，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡
BA
•
BC
=6，將cosB的值代入求出ca的值，再由ca，以及sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．
解答：解：由a，b，c成等比數(shù)列，得到b2=ac，即b不是最大邊，
∵acosC+ccosA=
4
7
7
bsinB，
∴sinAcosC+cosAsinC=
4
7
7
sin2B，即sin（A+C）=
4
7
7
sin2B，
∴sinB=
4
7
7
sin2B，
∵sinB≠0，∴sinB=
7
4
，
∵b不是最大邊，∴B為銳角，
∴cosB=
1-sin2B
=
3
4
，
由
BA
•
BC
=cacosB=6，
∴ca=8，
則S△ABC=
1
2
casinB=
7
．
點(diǎn)評：此題考查了正弦定理，等比數(shù)列的性質(zhì)，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
sin2ω+2cos2ωx-1（ω＞0）的最小正周期為2π．
（1）當(dāng)x∈R時，求f（x）的值域；
（2）在△ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，已知f（A）=1，a=2
7
，sinB=2sinC，求△ABC的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c且滿足（2b-c）cosA=acosC
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若|
AC
-
AB
|=1，求△ABC周長l的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=sin(
7π
6
-2x)+2cos2x-1(x∈R)．
（I）求函數(shù)f（x）的周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知點(diǎn)(A，
1
2
)經(jīng)過函數(shù)f（x）的圖象，b，a，c成等差數(shù)列，且
AB
•
AC
=9，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對應(yīng)的邊長分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，b=
3
，則△ABC的外接圓半徑為 （　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，設(shè)向量
m
=(b-c，c-a)，
n
=(b， c+a)，若向量
m
⊥
n
，則角A的大小為（　　）
A、
π
6
B、
π
3
C、
π
2
D、
2π
3

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