Question

以雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線．設e₁和e₂分別為雙曲線和它的共軛雙曲線的離心率，給出下列結論：①e₁²+e₂²=e₁²e₂²②e₁²+e₂²≥4③e₁²+e₂²＜e₁²e₂²④e₁²+e₂²＞e₁²e₂²．其中正確結論的序號是

①②

．（請寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

分析：設互為共軛的兩個雙曲線方程分別為

x2

a2

-

y2

b2

=1和

y2

b2

-

x2

a2

=1，根據(jù)離心率的公式化簡得到

1

e12

+

1

e22

=1，進而可得e₁²+e₂²=e₁²e₂²．再利用基本不等式證出e₁e₂≥2，從而得到e₁²+e₂²=e₁²e₂²≥4，當且僅當e₁=e₂=

2

時等號成立．由此即可得到本題的正確選項．

解答：解：根據(jù)題意，可得
設互為共軛的兩個雙曲線方程分別為

x2

a2

-

y2

b2

=1和

y2

b2

-

x2

a2

=1，（a、b都是正數(shù)）
則它們的離心率滿足e₁²=

a2+b2

a2

，e₂²=

a2+b2

b2

∴

1

e12

+

1

e22

=

a2

a2+b2

+

b2

a2+b2

=

a2+b2

a2+b2

=1，化簡得e₁²+e₂²=e₁²e₂²；
根據(jù)e₁、e₂都是大于1的正數(shù)，得e₁²e₂²=e₁²+e₂²≥2e₁e₂，
兩邊約去e₁e₂，得e₁e₂≥2，
因此e₁²+e₂²=e₁²e₂²≥4，當且僅當e₁=e₂=

2

時等號成立．
綜上所述，可得①②兩式成立，而③④兩式都與①矛盾而不正確
故答案為：①②

點評：本題給出共軛雙曲線的概念，叫我們判斷關于共軛雙曲線的離心率的幾個式的正確性．著重考查了雙曲線的基本概念和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．