(2009•日照一模)已知離心率為
4
5
的橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,雙曲線以橢圓的長軸為實軸,短軸為虛軸,且焦距為2
34

(I)求橢圓及雙曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓的左、右頂點分別為A,B,在第二象限內(nèi)取雙曲線上一點P,連結(jié)BP交橢圓于點M,連結(jié)PA并延長交橢圓于點N,若
BM
=
MP
.求四邊形ANBM的面積.
分析:(Ⅰ)設(shè)出橢圓方程和雙曲線方程,由橢圓的離心率是
4
5
,雙曲線的焦距為2
34
聯(lián)立方程組求出a和b的值,則橢圓及雙曲線的方程可求;
(Ⅱ)由(Ⅰ)中求出的橢圓方程求出A和B的坐標(biāo),設(shè)出M點的坐標(biāo),由
BM
=
MP
得M為BP的中點,從而求出P點坐標(biāo),把M的坐標(biāo)代入橢圓方程,把P的坐標(biāo)代入雙曲線方程,聯(lián)立后求出M和P的具體值,然后把四邊形ANBM的面積轉(zhuǎn)化為三角形ANB的面積求解.
解答:解:(I)設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0).
則根據(jù)題意,雙曲線的方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1
,且滿足
a2-b2
a
=
4
5
2
a2+b2
=2
34
,解方程組得
a2=25
b2=9

∴橢圓的方程為
x2
25
+
y2
9
=1
,雙曲線的方程
x2
25
-
y2
9
=1
;
(Ⅱ)由(I)得A(-5,0),B(5,0),|AB|=10.
設(shè)M(x0,y0),則由
BM
=
MP
得M為BP的中點,所以P點坐標(biāo)為(2x0-5,2y0),
將M、P坐標(biāo)代入橢圓和雙曲線方程,得
x02
25
+
y02
9
=1
(2x0-5)2
25
-
4y02
9
=1

消去y0,得2x02-5x0-25=0
解之得x0=-
5
2
或x0=5(舍)
所以y0=
3
3
2
,由此可得M(-
5
2
,
3
3
2
)

所以P(-10,3
3
)

當(dāng)P為(-10,3
3
)
時,直線PA的方程是y=
3
3
-10+5
(x+5)

y=-
3
3
5
(x+5)

代入
x2
25
+
y2
9
=1
,得2x2+15x+25=0
所以x=-
5
2
或-5(舍),
所以xN=-
5
2
,xN=xM,MN⊥x軸.
所以SANBM=2S△ANB=2×10×
3
3
2
×
1
2
=15
3
點評:本題主要考查了圓錐曲線的方程,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,直線與圓錐曲線問題的特點是計算量比較大,要求考生具備較強(qiáng)的運算推理的能力,是難題.
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(2009•日照一模)在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且滿足(2a-c)cosB=bcosC.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)設(shè)
m
=(sinA,1),
n
=(-1,1)
,求
m
n
的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•日照一模)若函數(shù)f(x)=
-cosπx,x>0
f(x+1)+1,x≤0
 則f(-
4
3
)的值為
5
2
5
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•日照一模)給出下列四個命題:
①若a<b,則a2>b2;
②若a≥b>-1,則
a
1+a
b
1+b
;
③若正整數(shù)m和n滿足;m<n,則
m(n-m)
n
2
;
④若x>0,且x≠1,則lnx+
1
lnx
≥2
;
其中真命題的序號是
②③
②③
(請把真命題的序號都填上).

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