已知橢圓G:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
過點(diǎn)A(0,5),B(-8,3),直線CD過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在線段AB的右下側(cè),求:
(1)橢圓G的方程;
(2)四邊形ABCD的面積的最大值.
分析:(1)先將點(diǎn)A(0,5),B(-8,3),代入橢圓的方程解得:a=10 b=5,最后寫出橢圓G的方程;
(2)連OB,則四邊形ABCD的面積=S△OAD+S△OAB+S△OBC,=
1
2
|yB|AO+
1
2
dA×OD+
1
2
dB×OC,dA,dB分別表示A,B到直線CD的距離,設(shè)CD:-kx+y=0,代入橢圓方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程,再結(jié)合求根公式即可求得四邊形ABCD的面積,最后結(jié)合基本不等式求最大值,從而解決問題.
解答:解:(1)將點(diǎn)A(0,5),B(-8,3),代入橢圓的方程得:b=5,且
64
a2
+
9
b2
=1

解得:a=10 b=5,橢圓G的方程為:
x2
100
+
y2
25
=1

(2)連OB,則四邊形ABCD的面積:S△OAD+S△OAB+S△OBC=
1
2
|yB|AO+
1
2
dA×OD+
1
2
dB×OC
dA,dB分別表示A,B到直線CD的距離,設(shè)CD:-kx+y=0,代入橢圓方程得:
x2+4k2x2-100=0,
∴D(
10
1+4k 2
,
10k
1+4k 2

OC=OD=
10
1+k 2
1+4k 2
,
又dA=
5
1+k 2
,dB=
8k-3
1+k 2
,
∴四邊形ABCD的面積:S△OAD+S△OAB+S△OBC=
1
2
|yB|×AO+
1
2
dA×OD+
1
2
dB×OC
=
5
1+k 2
×
10
1+k 2
1+4k 2
+
1
2
8k-3
1+k 2
×
10k
1+4k 2
=20+10×
1+5k+16k 2
1+4k 2
≤20+10
5

四邊形ABCD的面積的最大值為:20+10
5
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡單性質(zhì)、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
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