Question

【題目】已知函數(shù)的最小正周期是，且在區(qū)間上單調(diào)遞減.

(1)求函數(shù)的解析式;

(2)若關(guān)于的方程

在上有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）利用三角恒等變換將函數(shù)化為，利用正弦函數(shù)的周期公式可得，利用區(qū)間上單調(diào)遞減，可得，從而可得函數(shù)解析式；

（2）原方程可化為令，整理可得等價(jià)于在有解，分，和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，在上有解在上有解，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域即可.

（Ⅰ） ，，∴

當(dāng)時(shí)，此時(shí)在單調(diào)遞增，不合題意，∴；

∴，∴，在單調(diào)遞減，符合題意，故.

（Ⅱ），，，.

方程即為：令，由，得，于是，

原方程化為，整理得，

則等價(jià)于在有解.

（1）當(dāng)時(shí)，方程為得，故；

（2）當(dāng)時(shí)，在上有解在上有解，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域；設(shè)，則，，，

設(shè)，在時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，∴的取值范圍是，

在上有實(shí)數(shù)解或.