【題目】已知橢圓C: 的上下焦點分別為F1 , F2 , 離心率為 ,P為C上動點,且滿足 |,△QF1F2面積的最大值為4. (Ⅰ)求Q點軌跡E的方程和橢圓C的方程;
(Ⅱ)直線y=kx+m(m>0)與橢圓C相切且與曲線E交于M,N兩點,求 的取值范圍.

【答案】解:(Ⅰ)由橢圓定義得:|F2Q|=|F2P|+|PQ|=|F2P|+|PF1|=2a, 所以點Q的軌跡是以F2為圓心,2a為半徑的圓.
當QF2⊥F1F2時△QF1F2面積最大,所以 得:ac=2
可得a=2,c=1.
所以Q點軌跡E的方程x2+(y+1)2=16,橢圓C的方程
(Ⅱ)由 得(3k2+4)x2+6kmx+3m2﹣12=0△=36k2m2﹣4(3k2+4)(3m2﹣12)=0
化簡得:3k2﹣m2+4=0
所以,
及m>0得,m≥2
設(shè)圓心F2(0,﹣1)到直線MN的距離為d,則
所以,弦長
設(shè)點F1(0,1)到直線MN的距離為h,則
所以,
由m≥2,得:
所以, 的取值范圍為
【解析】(Ⅰ)由橢圓定義得:|F2Q|=|F2P|+|PQ|=|F2P|+|PF1|=2a,點Q的軌跡是以F2為圓心,2a為半徑的圓,當QF2⊥F1F2時△QF1F2面積最大,推出ac=2,結(jié)合離心率,然后求解橢圓方程即可.(Ⅱ)聯(lián)立 通過△=0,推出 求出m≥2,設(shè)圓心F2(0,﹣1)到直線MN的距離為d,求出弦長,設(shè)點F1(0,1)到直線MN的距離為h,求出三角形的面積的表達式,然后求解范圍即可.

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B.﹣
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D.

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