Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，線(xiàn)段AB與y軸交于點(diǎn)F（0，

1

2

），直線(xiàn)AB的斜率為k，且滿(mǎn)足|AF|•|BF|=1+k²．
（1）證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，一定存在以y軸為對(duì)稱(chēng)軸且經(jīng)過(guò)A、B、O三點(diǎn)的拋物線(xiàn)C，并求出拋物線(xiàn)C的方程；
（2）對(duì)（1）中的拋物線(xiàn)C，若直線(xiàn)l：y=x+m（m＞0）與其交于M、N兩點(diǎn)，求∠MON的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出直線(xiàn)AB和拋物線(xiàn)C的方程并聯(lián)立消y，在利用弦長(zhǎng)公式求出AF和BF代入|AF|•|BF|=1+k²．即可求出拋物線(xiàn)C的方程；
（2）先把直線(xiàn)l的方程與拋物線(xiàn)C的方程聯(lián)立消y，求出M、N兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之間的關(guān)系，再求出直線(xiàn)ON和MO的斜率，利用到角公式求出∠MON的正切．最后在利用函數(shù)的思想求出∠MON的正切值的范圍，進(jìn)而求出∠MON的取值范圍．

解答：解：（1）由已知設(shè)l_AB：y=kx+

1

2

①
又設(shè)拋物線(xiàn)C：x²=ay（a＞0）②
由①②得x²-akx-

a

2

=0（2分）
設(shè)A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），，則x_A•x_B=-

a

2

由弦長(zhǎng)公式得|AF|=

1+k2

|xA-0|=

1+k2

|xA|
|BF|=

1+k2

|xB-0|=

1+k2

|xB|（4分）
∴|AF|•|BF|=（1+k²）×|

a

2

|
而|AF|•|BF|=1+k²，所以a=2，即拋物線(xiàn)方程為C：x²=2y（6分）

（2）設(shè)M（x_M，y_M），N（x_N，y_N），由

y=x+m x2=2y

?x²-2x-2m=0
而△4+8m＞0（m＞0）
則x_M+x_N=2，x_M•x_N=-2m，
kOM=1+

m

xM

，kON=1+

m

xN

（7分）
不妨設(shè)x_M＜x_N，由于m＞0，則x_M＜0＜x_N
令∠mon=θ≠

π

2

，則ON到OM的角為θ，且滿(mǎn)足
tanθ=

kOM-kON

1+kOM•kON

=

2 1+2m

m-2

(m≠2)（9分）
令t=

1+2m

，則m=

t2-1

2

，t＞1且t≠

5

∴tanθ=

4t

t2-5

=

4

t+ -5 t

函數(shù)y=x與y=

-5

x

在（0，+∞）上皆為增函數(shù)
∴t-

5

t

∈（-4，0）∪（0，+∞）
∴

4

t+ -5 t

∈（-∞，-1）∪（0，+∞）（11分）
則θ∈（0，

π

2

）∪（

π

2

，

3π

4

），又m=2時(shí)，∠MON=θ=

π

2

∴∠MON∈（0，

3π

4

）（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系以及弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用問(wèn)題．直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，由于集中交匯了直線(xiàn)，圓錐曲線(xiàn)兩章的知識(shí)內(nèi)容，綜合性強(qiáng)，能力要求高，還涉及到函數(shù)，方程，不等式，平面幾何等許多知識(shí)，可以有效的考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類(lèi)討論的思想和轉(zhuǎn)化化歸的思想，因此，這一部分內(nèi)容也成了高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)．