(2013•東莞一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦點為F1(-1,0),且橢圓C的離心率e=
1
2

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的上下頂點分別為A1,A2,Q是橢圓C上異于A1,A2的任一點,直線QA1,QA2分別交x軸于點S,T,證明:|OS|•|OT|為定值,并求出該定值;
(3)在橢圓C上,是否存在點M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B,且△OAB的面積最大?若存在,求出點M的坐標(biāo)及對應(yīng)的△OAB的面積;若不存在,請說明理由.
分析:(1)由題目給出的條件直接列關(guān)于a,b,c的方程組求解a,b的值,則橢圓方程可求;
(2)由橢圓方程求出橢圓上下頂點的坐標(biāo),設(shè)出橢圓上的動點Q,由直線方程的兩點式寫出直線QA1,QA2的方程,取y=0后得到OS和OT的長度,結(jié)合點Q在橢圓上整體化簡運算可證出|OS|•|OT|為定值;
(3)假設(shè)存在點M(m,n),使得直線l:mx+ny=2與圓O:x2+y2=
16
7
相交于不同的兩點A、B,且△OAB的面積最大,由點M在橢圓上得到關(guān)于m和n的關(guān)系式,由點到直線的距離公式求出原點O到直線的距離,由圓中的半徑,半弦長和弦心距之間的關(guān)系求出弦長,寫出△OAB的面積后利用基本不等式求面積的最大值,利用不等式中等號成立的條件得到關(guān)于m和n的另一關(guān)系式,聯(lián)立后可求解M的坐標(biāo).
解答:解:(1)由題意:
c=1
e=
c
a
=
1
2
a2=b2+c2
,解得:a=2,b=
3

所以橢圓C:
x2
4
+
y2
3
=1
;
(2)由(1)可知A1(0,
3
),A2(0,-
3
)
,設(shè)Q(x0,y0),
直線QA1y-
3
=
y0-
3
x0
x
,令y=0,得xS=
-
3
x0
y0-
3
;     
直線QA2y+
3
=
y0+
3
x0
x
,令y=0,得xT=
3
x0
y0+
3

|OS|•|OT|=|
-
3
x0
y0-
3
3
x0
y0+
3
|=|
3
x
2
0
y
2
0
-3
|
,
x
2
0
4
+
y
2
0
3
=1
,所以3
x
2
0
=4(3-
y
2
0
)
,
所以|OM|•|ON|=|
3
x
2
0
y
2
0
-3
|=4
;
(3)假設(shè)存在點M(m,n)滿足題意,則
m2
4
+
n2
3
=1
,即m2=4-
4
3
n2

設(shè)圓心到直線l的距離為d,則d=
2
m2+n2
,且d<
4
7
7

所以|AB|=2
16
7
-d2
=2
16
7
-
4
m2+n2

所以S△OAB=
1
2
•|AB|•d=
4
m2+n2
(
16
7
-
4
m2+n2
)

因為d<
4
7
7
,所以m2+n2
7
4
,所以
16
7
-
4
m2+n2
>0

所以S△OAB=
4
m2+n2
(
16
7
-
4
m2+n2
)
(
4
m2+n2
+
16
7
-
4
m2+n2
2
)2=
8
7

當(dāng)且僅當(dāng)
4
m2+n2
=
16
7
-
4
m2+n2
,即m2+n2=
7
2
7
4
時,S△OAB取得最大值
8
7

m2+n2=
7
2
m2=4-
4
3
n2
,解得
m2=2
n2=
3
2

所以
m=
2
n=
6
2
m=
2
n=-
6
2
m=-
2
n=
6
2
m=-
2
n=-
6
2

所以存在點M滿足題意,點M的坐標(biāo)為
(
2
,
6
2
),(
2
,-
6
2
),(-
2
,
6
2
)
(-
2
,-
6
2
)

此時△OAB的面積為
8
7
點評:本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì),考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系,直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn),主要涉及位置關(guān)系的判定,弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等.突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.屬難題.
練習(xí)冊系列答案
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(2013•東莞一模)在同一平面直角坐標(biāo)系中,已知函數(shù)y=f(x)的圖象與y=ex的圖象關(guān)于直線y=x對稱,則函數(shù)y=f(x)對應(yīng)的曲線在點(e,f(e))處的切線方程為
x-ey=0
x-ey=0

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(2013•東莞一模)已知函數(shù)f(x)=lnx-
ax
,g(x)=f(x)+ax-6lnx,其中a∈R.
(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若g(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),求正實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)h(x)=x2-mx+4,當(dāng)a=2時,若?x1∈(0,1),?x2∈[1,2],總有g(shù)(x1)≥h(x2)成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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(2013•東莞一模)已知函數(shù)f(x)=
(
1
3
)
x
,x≥3
f(x+1),x<3
,則f(2+log32)的值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•東莞一模)在等差數(shù)列{an}中,若a1+a5+a9=
π
4
,則tan(a4+a6)=
3
3
3
3

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(2013•東莞一模)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列{Sn+1}是公比為2的等比數(shù)列,a2是a1和a3的等比中項.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{nan}的前n項和Tn

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