Question

已知點(diǎn)P（x，y）在由不等式組

x+y=3≤0 x-y-1≤0 x-1≥0

確定的平面區(qū)域內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（-1，2），則|

OP

|•cos∠AOP的最大值是

 

．

Answer 1

分析：先畫(huà)出約束條件

x+y=3≤0 x-y-1≤0 x-1≥0

的可行域，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)及點(diǎn)P的坐標(biāo)，將|

OP

|•cos∠AOP的值表達(dá)為一個(gè)關(guān)于x，y的式子，即目標(biāo)函數(shù)，然后將可行域中各角點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)的解析式，比較后可得結(jié)果

解答：解：∵|

OP

|•cos∠AOP=

OP • OA

| OA |

=

5

5

(2y-x)，
于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求z=2y-x的最大值，
作出可行域如圖所示，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1，2）時(shí)，
z=2y-x取得最大值，z_max=2×2-1=3，
從而|

OP

|•cos∠AOP=的最大值為

3

5

5

．
故答案為：

3

5

5

點(diǎn)評(píng)：平面區(qū)域的最值問(wèn)題是線性規(guī)劃問(wèn)題中一類(lèi)重要題型，在解題時(shí)，關(guān)鍵是正確地畫(huà)出平面區(qū)域，分析表達(dá)式的幾何意義，然后結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，分析圖形，找出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出答案．