Question

已知x＞0，y＞0，求證：．

Answer 1

答案：
解析：

探究：本題若直接用綜合法，則不易發(fā)現(xiàn)與已知不等式的關(guān)系，因而可試用分析法． 　　證明：要證明 　　只需證：(x2＋y2)3＞(x3＋y3)2， 　　即證：x3＋3x4y2＋3x2y4＋y6＞x6＋2x3y3＋y6， 　　即證：3x4y2＋3x2y4＞2x3y3． 　　∵x＞0，y＞0，∴x2y2＞0， 　　即證：3x2＋3y2＞2xy， 　　∵3x2＋3y2＞x2＋y2≥2xy， 　　∴3x2＋3y2＞2xy成立， 　　規(guī)律總結(jié)：用分析法思考數(shù)學(xué)問題的順序可表示為：(對(duì)于命題“若A則D”) 　　分析法的思考順序是執(zhí)果索因的順序，是從D上溯尋其論據(jù)，如C、C1、C2等，再尋求C、C1、C2的論據(jù)，如B、B1、B2、B3、B4等等，繼而尋求B、B1、B2、B3、B4的論據(jù)，如果其中之一B的論據(jù)恰為已知條件，于是命題已經(jīng)得證． 　　用分析法與綜合法來敘述證明，語(yǔ)氣之間也應(yīng)當(dāng)有區(qū)別．在綜合法中，每個(gè)推理都必須是正確的，每個(gè)論斷都應(yīng)當(dāng)是前面一個(gè)論斷的必然結(jié)果，因此所用語(yǔ)氣必須是肯定的．而在分析法中，就應(yīng)當(dāng)用假定的語(yǔ)氣，習(xí)慣上常用這樣一類語(yǔ)句：假如要A成立，就需先有B成立；如要有B成立，又只需有C成立……這樣從結(jié)論一直推到已知條件．當(dāng)我們應(yīng)用分析法時(shí)，所有各個(gè)中間的輔助命題，僅僅考慮到它們都是同所要證明的命題是等效的，而并不是確信它們都是真實(shí)的，直至達(dá)到最后已知條件或明顯成立的事實(shí)后，我們才確信它是真實(shí)的，從而可以推知前面所有與之等效的命題也都是真實(shí)的，于是命題就被證明了． 　　用分析法證題，是尋求不等式成立的充分條件而不是必要條件，分析過程沒有必要“步步可逆”．