【題目】已知,函數(shù)有兩個不同的零點.
(I)證明:;
(Ⅱ)證明:.
【答案】(I)證明見解析(Ⅱ)證明見解析
【解析】
(I)分離參數(shù),構造函數(shù),利用導數(shù)討論的單調性以及最值,根據(jù)直線與有兩個交點,即可求得參數(shù)的范圍;
(Ⅱ)先證明,再證明成立即可.
證明:(I)由,則.
當時,,此時單調遞增;
當時,,此時單調遞減.
因為有兩個不同的零點,故,即.
若,則當時,,此時在上無零點,
在上至多一個零點,與題設矛盾,故.
(Ⅱ)(1)一方面,先證明成立:
設,由(I)可知.
構造函數(shù),
所以.
所以當時,,遞增,
所以,即.
因為,所以,
即.
又因為,且在區(qū)間上單調遞減,
所以,即.
(2)另一方面,要證明成立,
只需證明成立,
由知,
故只需證明,即成立
等價于,
因為,所以只需證明,
即成立.
設函數(shù),則,
當時,單調遞減,
于是,故成立
綜上所述:.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】煉鋼是一個氧化降碳的過程,由于鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時間的長短,因此必須掌握鋼水含碳量和冶煉時間的關系.現(xiàn)已測得爐料熔化完畢時鋼水的含碳量與冶煉時間(從爐料熔化完畢到出鋼的時間)的一組數(shù)據(jù),如下表所示:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
104 | 180 | 190 | 177 | 147 | 134 | 150 | 191 | 204 | 121 | |
100 | 200 | 210 | 185 | 155 | 135 | 170 | 205 | 235 | 125 | |
10400 | 36000 | 39900 | 32745 | 22785 | 18090 | 25500 | 39155 | 47940 | 15125 |
(1)據(jù)統(tǒng)計表明,與之間具有線性相關關系,請用相關系數(shù)加以說明( ,則認為與有較強的線性相關關系,否則認為沒有較強的線性相關關系,精確到0.001);
(2)建立關于的回歸方程(回歸系數(shù)的結果精確到0.01);
(3)根據(jù)(2)中的結論,預測鋼水含碳量為160個0.01%的冶煉時間.
參考公式:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計分別為,
,相關系數(shù)
參考數(shù)據(jù):,
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的極值;
(2)是否存在實數(shù),使得不等式在上恒成立?若存在,求出的最小值:若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了打好脫貧攻堅戰(zhàn),某貧困縣農科院針對玉米種植情況進行調研,力爭有效地改良玉米品種,為農民提供技術支援,現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進行統(tǒng)計,獲得莖葉圖如圖(單位:厘米),設莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米,否則為矮莖玉米.
(1)求出易倒伏玉米莖高的中位數(shù);
(2)根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表:
抗倒伏 | 易倒伏 | |
矮莖 | ||
高莖 |
(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,是否可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認為抗倒伏與玉米矮莖有關?
附:,
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設點,分別是橢圓的左、右焦點,為橢圓上任意一點,且的最小值為0.
(1)求橢圓的方程;
(2)如圖,動直線與橢圓有且僅有一個公共點,點,是直線上的兩點,且,,求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某保險公司為客戶定制了5個險種:甲,一年期短險;乙,兩全保險;丙,理財類保險;丁,定期壽險:戊,重大疾病保險,各種保險按相關約定進行參保與理賠.該保險公司對5個險種參?蛻暨M行抽樣調查,得出如下的統(tǒng)計圖例,以下四個選項錯誤的是( )
A.54周歲以上參保人數(shù)最少B.18~29周歲人群參?傎M用最少
C.丁險種更受參保人青睞D.30周歲以上的人群約占參保人群的80%
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