(本小題共16分)已知橢圓的中心為坐標原點O,橢圓短半軸長為1,動點  在直線上.

(1)求橢圓的標準方程

(2)求以OM為直徑且被直線截得的弦長為2的圓的方程;

(3)設F是橢圓的右焦點,過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N.求證:線段ON的長為定值,并求出這個定值.

 

【答案】

解:(1)又由點M在準線上,得

,  ……………2分

  從而

所以橢圓方程為……………4分

(2)以OM為直徑的圓的方程為

 

其圓心為,半徑 ……………6分

因為以OM為直徑的圓被直線截得的弦長為2

所以圓心到直線的距離 

所以,……………8分

解得

所求圓的方程為 ……………10分

(3)方法一:由平幾知:……………11分

直線OM:,直線FN: 

……………13分

……………15分

所以線段ON的長為定值.……………16分

方法二、設,則  ……………11分

   ……………13分 

………15分

所以,為定值……………16分

【解析】略

 

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已知M(p, q)為直線x+y-m=0與曲線y=-的交點,且p<q,若f(x)=,λ、μ為正實數(shù)。求證:|f()-f()|<|p-q|

 

 

 

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