【題目】(本小題共l2分)
如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,延長(zhǎng)A1C1至點(diǎn)P,使C1P=A1C1,連接AP交棱CC1于D.
(Ⅰ)求證:PB1∥平面BDA1;
(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;
【答案】本小題主要考查直三棱柱的性質(zhì)、線面關(guān)系、二面角等基本知識(shí),并考查空間想象能力和邏輯推理能力,考查應(yīng)用向量知識(shí)解決問(wèn)題的能力.
解法一:
(Ⅰ)連結(jié)AB1與BA1交于點(diǎn)O,連結(jié)OD,
∵C1D∥平面AA1,A1C1∥AP,∴AD=PD,又AO=B1O,
∴OD∥PB1,又OD面BDA1,PB1面BDA1,
∴PB1∥平面BDA1.
(Ⅱ)過(guò)A作AE⊥DA1于點(diǎn)E,連結(jié)BE.∵BA⊥CA,BA⊥AA1,且AA1∩AC=A,
∴BA⊥平面AA1C1C.由三垂線定理可知BE⊥DA1.
∴∠BEA為二面角A-A1D-B的平面角.
在Rt△A1C1D中,,
又,∴.
在Rt△BAE中,,∴.
故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值為.
解法二:
如圖,以A1為原點(diǎn),A1B1,A1C1,A1A所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A1-B1C1A,則,,,,.
(Ⅰ)在△PAA1中有,即.
∴,,.
設(shè)平面BA1D的一個(gè)法向量為,
則令,則.
∵,
∴PB1∥平面BA1D,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,平面BA1D的一個(gè)法向量.
又為平面AA1D的一個(gè)法向量.∴.
故二面角A-A1D-B的平面角的余弦值為.
【解析】略
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),直線,設(shè)圓的半徑為1且關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng).
(1)若圓心在直線上,過(guò)點(diǎn)作圓的切線,求切線的方程;
(2)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B,若圓上存在點(diǎn),使,求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,且a2=9,a4=81.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)若bn=log3an , 求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的左、右焦點(diǎn)分別為,其離心率,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的半焦距為半徑的圓與直線相切.
(1)求的方程;
(2)過(guò)的直線交于兩點(diǎn), 為的中點(diǎn),連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn),若四邊形的面積滿足: ,求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知五邊形是由直角梯形和等腰直角三角形構(gòu)成,如圖所示, , , ,且,將五邊形沿著折起,且使平面平面.
(Ⅰ)若為中點(diǎn),邊上是否存在一點(diǎn),使得平面?若存在,求的值;若不存在,說(shuō)明理由;
(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法中,正確的是( )
A. 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)不一樣,與先后有關(guān)
B. 由生物學(xué)知道生男生女的概率均為,一對(duì)夫婦生兩個(gè)孩子,則一定為一男一女
C. 互斥事件一定是對(duì)立事件,對(duì)立事件不一定是互斥事件
D. 老師在某班學(xué)號(hào)為1~50的50名學(xué)生中依次抽取學(xué)號(hào)為5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的學(xué)生進(jìn)行作業(yè)檢查,這種抽樣方法是系統(tǒng)抽樣
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】給出下列命題:
①在△ABC中,若A<B,則sinA<sinB;
②在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)y=sinx與y=lgx的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè);
③函數(shù)y=|tan2x|的最小正周期為 ;
④存在實(shí)數(shù)x,使2sin(2x﹣ )﹣1= 成立;
其中正確的命題為(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),且滿足 ,記△ABP,△BCP,△ACP的面積依次為S1 , S2 , S3 , 則S1:S2:S3等于( )
A.1:2:3
B.1:4:9
C.2:3:1
D.3:1:2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(12分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知cosC+(cosA﹣sinA)cosB=0.
(1)求角B的大小; (2)若a+c=1,求b的取值范圍.
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