Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓

x2

4

+y2=1的左、右焦點(diǎn)，B（0，-1）．
（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（Ⅱ）若C為橢圓上異于B一點(diǎn)，且

BF1

=λ

CF1

，求λ的值；
（Ⅲ）設(shè)P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PBF₁的周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的方程，求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，化簡(jiǎn)

PF1

•

PF2

的 解析式為

1

4

(3x2-8)，結(jié)合x(chóng)∈[-2，2]，求得它的最值．
（Ⅱ）設(shè)C（x₀，y₀），由

BF1

=λ

CF1

，用λ 表示 x₀，y₀，把C（x₀，y₀）代入橢圓的方程求得λ值．
（Ⅲ） 因?yàn)閨PF₁|+|PB|=4-|PF₂|+|PB|≤4+|BF₂|，可得△PBF₁的周長(zhǎng)≤4+|BF₂|+|BF₁|≤8．

解答：解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，c=

3

，所以，F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，
設(shè)P（x，y），則

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)•(

3

-x，-y)=x2+y2-3 
=x2+1-

x2

4

-3=

1

4

(3x2-8)．
因?yàn)閤∈[-2，2]，故當(dāng)x=0，即點(diǎn)P為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，

PF1

•

PF2

有最小值-2．
當(dāng)x=±2，即點(diǎn)P為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，

PF1

•

PF2

有最大值1．
（Ⅱ）設(shè)C（x₀，y₀），B（0，-1），F1(-

3

，0)，由

BF1

=λ

CF1

，得 x0=

3 (1-λ)

λ

，y0=-

1

λ

，
又 

x02

4

+y02=1，所以有 λ²+6λ-7=0，解得λ=-7，（λ=1＞0舍去）．  
（Ⅲ） 因?yàn)閨PF₁|+|PB|=4-|PF₂|+|PB|≤4+|BF₂|，∴△PBF₁的周長(zhǎng)≤4+|BF₂|+|BF₁|≤8．
所以當(dāng)P點(diǎn)位于直線BF₂與橢圓的交點(diǎn)處時(shí)，△PBF₁周長(zhǎng)最大，最大值為8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，解得λ=-7把λ=1＞0舍去，是解題的易錯(cuò)點(diǎn)．