【題目】在圓上任取一點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線段,為垂足,當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)在線段上,且,點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過拋物線:的焦點(diǎn)作直線交拋物線于,兩點(diǎn),過且與直線垂直的直線交曲線于另一點(diǎn),求面積的最小值,以及取得最小值時(shí)直線的方程.
【答案】(1),(2)9 ,
【解析】
(1)利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程,設(shè),則,代入圓的方程,整理,即可.
(2)法一:分類討論,當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),,,,當(dāng)直線的斜率存在時(shí),則,設(shè)直線的方程為,與,聯(lián)立整理,計(jì)算,設(shè)直線的方程為,與,聯(lián)立整理,計(jì)算,根據(jù),令,則,,判斷單調(diào)性,確定時(shí),面積最小,求解即可. 法二:設(shè)直線的方程設(shè)為,與聯(lián)立,計(jì)算,設(shè)直線的方程為與,聯(lián)立,計(jì)算,以下同法一.
(1)設(shè),,則由于,依題知:,.即,,
而點(diǎn)在圓上,故,
得,故曲線的方程為.
(2)法一:拋物線的焦點(diǎn)為,
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),,,,
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),則,設(shè),,
直線的方程設(shè)為,代入,
消去得,即,
則,,
∴,
的直線方程為:,代入,
消去得,,
,
,,
,
面積:,
令,則,則,
,
令,則,即,當(dāng)時(shí),為減函數(shù),當(dāng)時(shí),為增函數(shù),所以時(shí),面積最。
由得時(shí),面積的最小值為,
此時(shí)直線的方程為:,即.
法二:拋物線的焦點(diǎn)為,
過點(diǎn)的直線的方程設(shè)為:,設(shè),,
聯(lián)立得.則,,
∴,
過且與直線垂直的直線設(shè)為:,
聯(lián)立得,,
,.
∴,
面積.
令,則,,
令,則,即,當(dāng)時(shí),為減函數(shù),當(dāng)時(shí),為增函數(shù),所以時(shí),面積最小.
由得時(shí),面積的最小值為9,
此時(shí)直線的方程為:,即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四邊形為正方形,平面,四邊形與四邊形也都為正方形,連接,點(diǎn)為的中點(diǎn),有下述四個(gè)結(jié)論:
①; 、與所成角為;
③平面; ④與平面所成角為.
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是( )
A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+ax.
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線與直線y=4x+1平行,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若時(shí),關(guān)于x的方程在(0,2]上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果一個(gè)四面體的三個(gè)面是直角三角形,下列三角形:(1)直角三角形;(2)銳角三角形;(3)鈍角三角形;(4)等腰三角形;(5)等腰直角三角形.那么可能成為這個(gè)四面體的第四個(gè)面是_____.(填上你認(rèn)為正確的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,及拋物線方程為,點(diǎn)在拋物線上,則使得為直角三角形的點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )
A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,已知四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形,點(diǎn)在底面上的射影為底面的中心點(diǎn),點(diǎn)在棱上,且的面積為1.
(1)若點(diǎn)是的中點(diǎn),求證:平面平面;
(2)在棱上是否存在一點(diǎn)使得二面角的余弦值為?若存在,求出點(diǎn)的位置;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),證明:在上恒成立;
(2)若函數(shù)有唯一零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)列{2n﹣1}的前n項(xiàng)1,3,7,…,2n﹣1組成集合(n∈N*),從集合An中任取k(k=1,2,3,…,n)個(gè)數(shù),其所有可能的k個(gè)數(shù)的乘積的和為Tk(若只取一個(gè)數(shù),規(guī)定乘積為此數(shù)本身),記Sn=T1+T2+…+Tn,例如當(dāng)n=1時(shí),A1={1},T1=1,S1=1;當(dāng)n=2時(shí),A2={1,3},T1=1+3,T2=1×3,S2=1+3+1×3=7,試寫出Sn=__.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為F,短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為A、B,且,為等邊三角形.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,點(diǎn)M在橢圓C上且位于第一象限內(nèi),它關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為N;過點(diǎn)M作x軸的垂線,垂足為H,直線與橢圓C交于另一點(diǎn)J,若,試求以線段為直徑的圓的方程;
(3)已知是過點(diǎn)A的兩條互相垂直的直線,直線與圓相交于兩點(diǎn),直線與橢圓C交于另一點(diǎn)R;求面積取最大值時(shí),直線的方程.
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