精英家教網(wǎng)已知拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F作直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn);橢圓E的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,點(diǎn)F是它的一個(gè)頂點(diǎn),且其離心率e=
3
2

(1)經(jīng)過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線l1,l2,切線l1與l2相交于點(diǎn)M.證明:
MF
MA
=
MF
MB
;
(2)橢圓E上是否存在一點(diǎn)M',經(jīng)過點(diǎn)M'作拋物線C的兩條切線M'A',M'B'(A',B'為切點(diǎn)),使得直線A'B'過點(diǎn)F?若存在,求出拋物線C與切線M'A',M'B'所圍成圖形的面積;若不存在,請說明理由.
分析:(1)聯(lián)立
y=kx+1
x2=4y
,得x2-4kx-4=0,x1+x2=4k,x1x2=-4,由拋物線C的方程為y=
1
4
x2
,知y=
1
2
x
,過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是y-y1=
1
2
x1(x-x1),y-y2=
1
2
x2(x-x2)
,由此能夠求
FM
MA
=
MF
MB

(2)設(shè)橢圓E的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a+b>0)
,半焦距為c,
b=1
c
a
=
3
2
a2=b2+c2
,解得a=2,b=1,所以橢圓E的方程是
x2
4
+y2 =1
.假設(shè)存在點(diǎn)M‘滿足題意,點(diǎn)M’心在直線y=-1上,由此能夠求出拋物線C與切線M′A′,M′B′所圍成圖形的面積是S=2
2
0
[
1
4
x2-(x-1)] dx
=
1
2
(
1
12
x3-
1
2
x2+x)
|
2
0
=
4
3
解答:解:(1)聯(lián)立
y=kx+1
x2=4y
,得x2-4kx-4=0,
∴x1+x2=4k,x1x2=-4,
∵拋物線C的方程為y=
1
4
x2
,∴y=
1
2
x

∴過拋物線上A、B兩點(diǎn)的切線方程分別是
y-y1=
1
2
x1(x-x1),y-y2=
1
2
x2(x-x2)
,
y=
1
2
x1 x-
1
4
x12,y=
1
2
x2x-
1
4
x22
,
解得兩條切線l1,l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(
x1+x2
2
,
x1x2
4
)
,即M(2k,-1),
要證
MF
MA
=
MF
MB
,即證
MF
•(
MB
-
MA
) =
MF
AB
=0

FM
AB
=(2k,-2)•(x2-x1,y2-y1)

=2k(x2-x1)-
(x2+x1)(x2-x2)
2
=0,∴
FM
MA
=
MF
MB

(2)設(shè)橢圓E的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a+b>0)
,半焦距為c,
b=1
c
a
=
3
2
a2=b2+c2
,解得a=2,b=1,
∴橢圓E的方程是
x2
4
+y2 =1

假設(shè)存在點(diǎn)M‘滿足題意,由(1)知,點(diǎn)M’心在直線y=-1上,
又直線y=-1與橢圓E有唯一交點(diǎn),故M‘(0,-1).
設(shè)過點(diǎn)M’且與拋物線C相切的切線方程這:y-y0=
1
2
x0(x-x0)
,
其中點(diǎn)(x0,y0)為切點(diǎn),
令x=0,y=-1,得-1-
1
4
x02
=
1
2
x0(0-x0)
,
解得x0=2或x0=-2.
取A‘(-2,1),B’(2,1)即直線A‘B’過點(diǎn)F,
綜上所述,橢圓E上存在一點(diǎn)M‘(0,-1),經(jīng)過點(diǎn)M′作拋物線C的兩條切線M′A′,M′B′(A′,B′為切點(diǎn)),
此時(shí),兩條切線分別為y=-x-1,y=x-1.
拋物線C與切線M′A′,M′B′所圍成圖形的面積是S=2
2
0
[
1
4
x2-(x-1)] dx
=
1
2
(
1
12
x3-
1
2
x2+x)
|
2
0
=
4
3
點(diǎn)評:本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:x2=2py(p>0),其焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為
12

(1)試求拋物線C的方程;
(2)設(shè)拋物線C上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t(t>0),過P的直線交C于另一點(diǎn)Q,交x軸于M,過點(diǎn)Q作PQ的垂線交C于另一點(diǎn)N,若MN是C的切線,求t的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:x2=
12
y
和定點(diǎn)P(1,2),A、B為拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且直線PA和PB的斜率為非零的互為相反數(shù).
(I)求證:直線AB的斜率是定值;
(II)若拋物線C在A、B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)M,求M的軌跡方程;
(III)若A′與A關(guān)于y軸成軸對稱,求直線A′B與y軸交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:x2=2py,過點(diǎn)A(0,4)的直線l交拋物線C于M,N兩點(diǎn),且OM⊥ON.
(1)求拋物線C的方程;
(2)過點(diǎn)N作y軸的平行線與直線y=-4相交于點(diǎn)Q,若△MNQ是等腰三角形,求直線MN的方程.K.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:x2=ay(a>0),斜率為k的直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F,交拋物線于A,B兩點(diǎn),且拋物線上一點(diǎn)M(2
2
 , m) (m>1)
到點(diǎn)F的距離是3.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若k>0,且
AF
=3
FB
,求k的值.
(Ⅲ)過A,B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,這兩條切線的交點(diǎn)為點(diǎn)Q,求證:
AB
 • 
FQ
=0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線C:x2=2my(m>0)和直線l:y=x-m沒有公共點(diǎn)(其中m為常數(shù)).動(dòng)點(diǎn)P是直線l上的任意一點(diǎn),過P點(diǎn)引拋物線C的兩條切線,切點(diǎn)分別為M、N,且直線MN恒過點(diǎn)Q(1,1).
(1)求拋物線C的方程;
(2)已知O點(diǎn)為原點(diǎn),連接PQ交拋物線C于A、B兩點(diǎn),求
|PA|
|
PB|
-
|
QA|
|
QB|
的值.

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