Question

已知拋物線C：x²=ay（a＞0），斜率為k的直線l經(jīng)過拋物線的焦點F，交拋物線于A，B兩點，且拋物線上一點M(2

2

 ， m) (m＞1)到點F的距離是3．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若k＞0，且

AF

=3

FB

，求k的值．
（Ⅲ）過A，B兩點分別作拋物線的切線，這兩條切線的交點為點Q，求證：

AB

 • 

FQ

=0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用點M(2

2

 ，m)在拋物線C：x²=ay（a＞0）上，點M( 2

2

，m)到拋物線的焦點F的距離是3，根據(jù)定義，建立方程，從而可求a的值；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用

AF

=3

FB

，建立方程，結(jié)合k＞0，可求k的值；
（Ⅲ）設(shè)直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立，確定

AB

的坐標，確定切線QA、QB的方程，求出點Q的坐標，從而可得

FQ

的坐標，利用數(shù)量積公式可得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：因為點M(2

2

 ，m)在拋物線C：x²=ay（a＞0）上，所以am=8．
因為點M( 2

2

，m)到拋物線的焦點F的距離是3，所以點M( 2

2

，m)到拋物線的準線y=-

a

4

的距離是3，
所以m+

a

4

=3．
所以

8

a

+

a

4

=3．
所以a=4，或a=8．…..（3分）
因為m＞1，所以a=4…（4分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知x²=4y．
因為直線l經(jīng)過點T（0，1），

AF

=3

FB

，所以直線l的斜率一定存在，
設(shè)直線l的斜率是k，所以直線l的方程是y=kx+1，即kx-y+1=0．
聯(lián)立方程組

kx-y+1=0  x2=4y

消去y，得x²-4kx-4=0．…..（5分）
所以x1，2=

4k± 16k2+16

2

=2k±2

k2+1

．
因為

AF

=3

FB

，且k＞0，所以2k+2

k2+1

=3•(2

k2+1

-2k)．…..（7分）
所以

k2+1

=2k，所以k2=

1

3

．
因為k＞0，所以k=

3

3

所以k的值是

3

3

．…..（8分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，方程組

kx-y+1=0  x2=4y

得x²-4kx-4=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4

AB

=(x2-x1，y2-y1)=(x2-x1，k(x2-x1))．…..（9分）
由x²=4y，所以y=

1

4

x2，所以y′=

1

2

x．
所以切線QA的方程是y-y1=

1

2

x1(x-x1)，切線QB的方程是y-y2=

1

2

x2(x-x2)．…..（11分）
所以點Q的坐標是（

x1+x2

2

，

x1x2

4

），即（2k，-1），所以

FQ

=(2k，-2)．
因為

AB

=(x2-x1，k(x2-x1))
所以

AB

•

FQ

=0．…..（14分）

點評：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的切線方程，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．