Question

在平面內(nèi)，已知橢圓的兩個焦點為F₁，F(xiàn)₂，橢圓的離心率為，P點是橢圓上任意一點，且|PF₁|+|PF₂|=4，
（1）求橢圓的標準方程；
（2）以橢圓的上頂點B為直角頂點作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，這樣的等腰直角三角形是否存在？若存在請說明有幾個、并求出直角邊所在直線方程？若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)BA的直線方程為設(shè)y=kx+1，（不妨設(shè)k＞0）．由，得（1+4k²）x²+8kx=0，由此分別用k表示出AB和BC的長，再由AB=BC，求出直角邊所在直線方程．
解答：解：（1）由題意得，∴，∴b=1，
∴方程為：．（5分）
（2）設(shè)BA的直線方程為設(shè)y=kx+1，（不妨設(shè)k＞0）
由，得（1+4k²）x²+8kx=0，
∴，（7分）
∴，
∴，
∴，
由AB=BC，得k（k²+4）=4k²+1，
即（k-1）（k²-3k+1）=0，即k=1或
所以，存在3個等腰直角三角形．
直角邊所在直線方程為．…（15分）
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查等腰直角三角形個數(shù)的判斷和直角邊所在直線方程的求法，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．