Question

11．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足4S_n=a${\;}_{n+1}^{2}$-4n-1，且a₁=1，公比大于1的等比數(shù)列{b_n}滿足b₂=3，b₁+b₃=10．
（1）求證數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=$\frac{a_n}{{3{b_n}}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）在（2）的條件下，若c_n≤t²+$\frac{4}{3}$t-2對一切正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)列遞推式可得$4{S}_{n-1}={{a}_{n}}^{2}-4（n-1）-1$（n≥2），與原遞推式作差后配方可得${{a}_{n+1}}^{2}={{a}_{n}}^{2}+4{a}_{n}+4=（{a}_{n}+2）^{2}$，開方得到a_n+1=a_n+2（n≥2）．再求得a₂=3，即可證明數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q（q＞1），由題意列式求得首項(xiàng)和公比，得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入$c_n^{\;}=\frac{a_n}{{3{b_n}}}=\frac{2n-1}{3^n}$．利用錯誤相減法求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（3）利用作差法可得數(shù)列{c_n}單調(diào)遞減，即有最大值為${c_1}=\frac{1}{3}$，把${c_n}≤{t^2}+\frac{4}{3}t-2$對一切正整數(shù)n恒成立，轉(zhuǎn)化為$\frac{1}{3}≤{t^2}+\frac{4}{3}t-2$，求解不等式得答案．

解答 證明：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，$4{S}_{n-1}={{a}_{n}}^{2}-4（n-1）-1$，
∴$4{a}_{n}=4{S}_{n}-4{S}_{n-1}={{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}-4$，
則${{a}_{n+1}}^{2}={{a}_{n}}^{2}+4{a}_{n}+4=（{a}_{n}+2）^{2}$，
∵a_n＞0，∴a_n+1=a_n+2（n≥2）．
又a₁=1，4a₁=${{a}_{2}}^{2}-5$，得a₂=3，
則{a_n}是首項(xiàng)a₁=1，公差d=2的等差數(shù)列，
則數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式為a_n=2n-1；
解：（2）由（1）得數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式為a_n=2n-1．
設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q（q＞1），
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{_{1}q=3}\\{_{1}+_{1}{q}^{2}=10}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{_{1}=1}\\{q=3}\end{array}\right.$．
∴${b_n}={3^{n-1}}$，則$c_n^{\;}=\frac{a_n}{{3{b_n}}}=\frac{2n-1}{3^n}$．
則前n項(xiàng)和${T}_{n}=1•\frac{1}{3}+3•（\frac{1}{3}）^{2}+5•（\frac{1}{3}）^{3}+…+（2n-1）•（\frac{1}{3}）^{n}$．
$\frac{1}{3}{T}_{n}=1•（\frac{1}{3}）^{2}+3•（\frac{1}{3}）^{3}+5•（\frac{1}{3}）^{4}+…+（2n-1）•（\frac{1}{3}）^{n+1}$．
相減可得$\frac{2}{3}{T}_{n}=\frac{1}{3}+2[（\frac{1}{3}）^{2}+（\frac{1}{3}）^{3}+…+（\frac{1}{3}）^{n}]-（2n-1）•（\frac{1}{3}）^{n+1}$
=$\frac{1}{3}+2•\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}-（2n-1）•（\frac{1}{3}）^{n+1}$．
∴${T}_{n}=1-（n+1）•（\frac{1}{3}）^{n}$；
解：（3）${c_n}≤{t^2}+\frac{4}{3}t-2$對一切正整數(shù)n恒成立，
由c_n+1-c_n=$（2n+1）•（\frac{1}{3}）^{n+1}-（2n-1）•（\frac{1}{3}）^{n}$=$\frac{4}{3}（1-n）•（\frac{1}{3}）^{n}≤0$，
可得數(shù)列{c_n}單調(diào)遞減，即有最大值為${c_1}=\frac{1}{3}$，
則$\frac{1}{3}≤{t^2}+\frac{4}{3}t-2$，解得t≥1或$t≤-\frac{7}{3}$．
即實(shí)數(shù)t的取值范圍為$（-∞，-\frac{7}{3}]∪[1，+∞）$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題．