Question

已知f(x)=是奇函數(shù)。

（1）求a，b的值；

（2）求f(x)的單調(diào)區(qū)間，并加以證明；

（3）求f(x)的值域。

Answer 1

答案：
解析：

(1)由，f(x)＋f(－x)＝0恒成立，即－＝0恒成立。     也就是2(α＋b)x2＋2α＝0對任何實數(shù)α均成立，從而     。 (2)∵f(x)＝(x∈R)，是奇函數(shù)，     ∴只要研究f(x)在(0，＋∞)的單調(diào)區(qū)間即可，任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＞x2，則     f(x1)－f(x2)＝     =,     ∵，     x1，x2∈[0，1)時，x1x2－1＜0，     x1，x2∈[1，＋∞)時，x1x2－1＞0，     ∴當x1，x2∈[0，1)時，f(x1)－f(x2)＞0，函數(shù)，y＝f(x)是增函數(shù)；     ∴當x1，x2∈[0，＋∞]時f(x1)－f(x2)＜0，函數(shù)y＝f(x)是減函數(shù)；     又∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(x)在[－1，0]上是增函數(shù)；在[－∞，0]上是減函數(shù)。     注意到u∈[0，1]，υ∈[－1，0]時，恒有f(u)≥f(υ)，等號僅在u＝υ＝0時取得，從而f(x)在[－1，1]上是遞增函數(shù)。     綜上知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－1]和[1，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間是[－1，1]。     (2)由(2)可知y＝f(x)在(－∞，－1]上是遞減函數(shù)，在[－1，1]上是遞增函數(shù)，在[1，＋∞)上是減函數(shù)，并注意到函數(shù)的圖象不問斷，以及x→±∞時，f(x)＝∴函數(shù)f(x)的值域是[f(－1)，f(1)]=。