已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù). 當(dāng)a,b∈[-1,1],且a+b≠0時,有
f(a)+f(b)a+b
>0
成立.
(Ⅰ)判斷函f(x)的單調(diào)性,并證明;
(Ⅱ)若f(1)=1,且f(x)≤m2-2bm+1對所有x∈[-1,1],b∈[-1,1]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
分析:(Ⅰ)f(x)在[-1,1]上為增函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性定義,結(jié)合a+b≠0時,有
f(a)+f(b)
a+b
>0
成立,可證;
(Ⅱ) 根據(jù)f(x)在[-1,1]上為增函數(shù),對所有的x∈[-1,1],b∈[-1,1],有f(x)≤m2-2bm+1恒成立,應(yīng)有m2-2bm+1≥f(1)=1⇒m2-2bm≥0.  記g(b)=-2mb+m2,對所有的b∈[-1,1],g(b)≥0成立,從而只需g(b)在[-1,1]上的最小值不小于零,故可解.
解答:解:(Ⅰ)f(x)在[-1,1]上為增函數(shù)
證明:設(shè)x1,x2∈[-1,1],且x1<x2,在
f(a)+f(b)
a+b
>0
中,令a=x1,b=-x2,有
f(x1)+f(-x2)
x1-x2
>0,
∵x1<x2,∴x1-x2<0,又∵f(x)是奇函數(shù),
∴f(-x2)=-f(x2),∴
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
故f(x)在[-1,1]上為增函數(shù)…(6分)
(Ⅱ)∵f(1)=1  且f(x )在[-1,1]上為增函數(shù),對x∈[-1,1],有f(x)≤f(1)=1.
由題意,對所有的x∈[-1,1],b∈[-1,1],有f(x)≤m2-2bm+1恒成立,
應(yīng)有m2-2bm+1≥1⇒m2-2bm≥0.  記g(b)=-2mb+m2,對所有的b∈[-1,1],g(b)≥0成立.
只需g(b)在[-1,1]上的最小值不小于零…(8分)
若m>0時,g(b)=-2mb+m2是減函數(shù),故在[-1,1]上,b=1時有最小值,
且[g(b)]最小值=g(1)=-2m+m2≥0⇒m≥2;
若m=0時,g(b)=0,這時[g(b)]最小值=0滿足題設(shè),故m=0適合題意;
若m<0時,g(b)=-2mb+m2是增函數(shù),故在[-1,1]上,b=-1時有最小值,
且[g(b)]最小值=g(-1)=2m+m2≥0⇒m≤-2.
綜上可知,符合條件的m的取值范圍是:m∈(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).
點評:本題的考點是函數(shù)恒成立問題,以奇函數(shù)為依托,證明函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)恒成立問題,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)換為研究函數(shù)的最值.
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已知f(x)是定義在(-4,4)上的奇函數(shù),它在定義域內(nèi)單調(diào)遞減 若a滿足f(1-a)+f(2a-3)小于0,求a的取值范圍.

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已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0時,都有
f(a)+f(b)
a+b
>0

(1)證明函數(shù)a=1在f(x)=-x2+x+lnx上是增函數(shù);
(2)解不等式:f(
1
x-1
)>0,x∈(0,+∞);
(3)若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
對所有f'(x)=0,任意x=-
1
2
恒成立,求實數(shù)x=1的取值范圍.

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8、已知f(x)是定義在R上的函數(shù),f(1)=1,且對任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,則g(2009)=( 。

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12
3)
,c=f(0.2-0.6),則a,b,c的大小關(guān)系
a>b>c
a>b>c

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