（2013•湖北）如圖，已知橢圓C1與C2的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，長軸均為MN且在x軸上，短軸長分別為2m，2n（m＞n），過原點(diǎn)且不與x軸重合的直線l與C1，C2的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A，B，C，D，記λ=
mn
，△BDM和△ABN的面積分別為S1和S2．
（Ⅰ）當(dāng)直線l與y軸重合時(shí)，若S1=λS2，求λ的值；
（Ⅱ）當(dāng)λ變化時(shí)，是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S1=λS2？并說明理由．
分析：（Ⅰ）設(shè)出兩個(gè)橢圓的方程，當(dāng)直線l與y軸重合時(shí)，求出△BDM和△ABN的面積S1和S2，直接由面積比=λ列式求λ的值；
（Ⅱ）假設(shè)存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S1=λS2，設(shè)出直線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出M和N到直線l的距離，利用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想把兩個(gè)三角形的面積比轉(zhuǎn)化為線段長度比，由弦長公式得到線段長度比的另一表達(dá)式，兩式相等得到
a2k2+n2
a2k2+m2
=
λ+1
λ(λ-1)
，換元后利用非零的k值存在討論λ的取值范圍．
解答：解：以題意可設(shè)橢圓C1和C2的方程分別為
C1：
x2
a2
+
y2
m2
=1，C2：
x2
a2
+
y2
n2
=1．其中a＞m＞n＞0，
λ=
m
n
．
（Ⅰ）如圖1，若直線l與y軸重合，即直線l的方程為x=0，則
S1=
1
2
|BD|•|OM|=
1
2
a|BD|，
S2=
1
2
|AB|•|ON|=
1
2
a|AB|，
所以
S1
S2
=
|BD|
|AB|
．
在C1和C2的方程中分別令x=0，可得yA=m，yB=n，yD=-m，
于是
|BD|
|AB|
=
|yB-yD|
|yA-yB|
=
m+n
m-n
=
λ+1
λ-1
．
若
S1
S2
=λ，則
λ+1
λ-1
=λ，化簡得λ2-2λ-1=0，由λ＞1，解得λ=
2
+1．
故當(dāng)直線l與y軸重合時(shí)，若S1=λS2，則λ=
2
+1．
（Ⅱ）如圖2，若存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S1=λS2，根據(jù)對稱性，
不妨設(shè)直線l：y=kx（k＞0），
點(diǎn)M（-a，0），N（a，0）到直線l的距離分別為d1，d2，則
d1=
|-ak-0|
1+k2
=
ak
1+k2
，d2=
|ak-0|
1+k2
=
ak
1+k2
，所以d1=d2．
又S1=
1
2
|BD|d1，S2=
1
2
|AB|d2，所以
S1
S2
=
|BD|
|AB|
=λ，即|BD|=λ|AB|．
由對稱性可知|AB|=|CD|，所以|BC|=|BD|-|AB|=（λ-1）|AB|，
|AD|=|BD|+|AB|=（λ+1）|AB|，于是
|AD|
|BC|
=
λ+1
λ-1
．
將l的方程分別與C1和C2的方程聯(lián)立，可求得
xA=
am
a2k2+m2
，xB=
an
a2k2+n2

根據(jù)對稱性可知xC=-xB，xD=-xA，于是
|AD|
|BC|
=
1+k2
|xA-xD|
1+k2
|xB-xC|
=
m
n
a2k2+n2
a2k2+m2
②
從而由①和②可得
a2k2+n2
a2k2+m2
=
λ+1
λ(λ-1)
③
令t=
λ+1
λ(λ-1)
，則由m＞n，可得t≠1，于是由③可得k2=
n2(λ2t2-1)
a2(1-t2)
．
因?yàn)閗≠0，所以k2＞0．于是③關(guān)于k有解，當(dāng)且僅當(dāng)
n2(λ2t2-1)
a2(1-t2)
＞0，
等價(jià)于(t2-1)(t2-
1
λ2
)＜0，由λ＞1，解得
1
λ
＜t＜1，
即
1
λ
＜
λ+1
λ(λ-1)
＜1，由λ＞1，解得λ＞1+
2
，所以
當(dāng)1＜λ≤1+
2
時(shí)，不存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S1=λS2；
當(dāng)λ＞1+
2
時(shí)，存在與坐標(biāo)軸不重合的直線l，使得S1=λS2．
點(diǎn)評：本題考查了三角形的面積公式，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，該題重點(diǎn)考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，（Ⅱ）中判斷λ的存在性是該題的難題，考查了靈活運(yùn)用函數(shù)和不等式的思想方法．
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（Ⅰ）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明；
（Ⅱ）設(shè)（Ⅰ）中的直線l與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且點(diǎn)Q滿足
DQ
=
1
2
CP
．記直線PQ與平面ABC所成的角為θ，異面直線PQ與EF所成的角為α，二面角E-l-C的大小為β．求證：sinθ=sinαsinβ．

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n(n+1)
2
=
1
2
n2+
1
2
n．記第n個(gè)k邊形數(shù)為N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：
三角形數(shù)N(n，3)=
1
2
n2+
1
2
n，
正方形數(shù)N（n，4）=n2，
五邊形數(shù)N(n，5)=
3
2
n2-
1
2
n，
六邊形數(shù)N（n，6）=2n2-n，
…
可以推測N（n，k）的表達(dá)式，由此計(jì)算N（10，24）=
1000
1000
．

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（Ⅰ）證明：中截面DEFG是梯形；
（Ⅱ）在△ABC中，記BC=a，BC邊上的高為h，面積為S．在估測三角形ABC區(qū)域內(nèi)正下方的礦藏儲(chǔ)量（即多面體A1B1C1-A2B2C2的體積V）時(shí)，可用近似公式V估=S中-h來估算．已知V=
13
（d1+d2+d3）S，試判斷V估與V的大小關(guān)系，并加以證明．

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