底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PA⊥平面ABCD,點(diǎn)E在PD上,且=2.

(Ⅰ)求二面角E-AC-D的大小;;

(Ⅱ)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使BF∥平面AEC,若存在,確定點(diǎn)F的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.

答案:解法一:(Ⅰ)作EM⊥AD于M,∵PA⊥面ABCD.

∴面PAD⊥面ABCD

作MN⊥AC于N,連接NE,則NE⊥AC,

∴∠ENM為二面角E-AC-D的平面角, 

∵EM=PA=a,AM=a,∴MN=AM·sin60°==a.∴tanENM=.

∴二面角E-AC-D的大小為30°. 

(Ⅱ)取PC中點(diǎn)F,PE中點(diǎn)Q,連接FQ、BF、BQ,

設(shè)AC∩BD=O,連OE,則OE∥BQ,OF∥CE,∴平面BQF∥平面ACE, 

∴在棱PC上存在中點(diǎn)F,使BF∥平面AEC. 

解法二:(Ⅰ)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(a,-a,0),D(0,a,0),

C(a,a,0),P(0,0,a),E(0,a,a),

=(0,a;a),=(a,a,0),

設(shè)平面ACE的法向量為n=(x,y,z)則,可得n=(,-,1),

而平面ACD的法向量為n1==(0,0,a), 

∴cos〈n·n1〉=,∴二面角E-AC-D的大小為30°.  

(Ⅱ)由(Ⅰ)=(a,a,-a),設(shè)F為PC上一點(diǎn),且=(λa,λa,-λa),

=(-a,a,a),∴=+=(a(λ-1),(1+λ)a,a(1-λ))

12,∴1(a,a,0)+λ2(0,a,a),

  解得

∴當(dāng)λ=時(shí),=-+,

,共面,此時(shí)F為BC中點(diǎn),又BF平面ACE,∴BF∥平面ACE.

解法三:(Ⅱ)取PC中點(diǎn)F,由

===.

∴BF與AE共面,又BF面ACE.∴BF∥平面ACE.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=
2
a
,點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).
(I)證明PA⊥平面ABCD,PB∥平面EAC;
(II)求以AC為棱,EAC與DAC為面的二面角θ的正切值.

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精英家教網(wǎng)如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=
2
a
,點(diǎn)E在PD上,且PE:ED=2:1.
(Ⅰ)證明PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求以AC為棱,EAC與DAC為面的二面角θ的大;
(Ⅲ)在棱PC上是否存在一點(diǎn)F,使BF∥平面AEC?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠ABC=60°,PA=AB=2,E是PD中點(diǎn).
(1)求證:PB∥平面ACE;
(2)求三棱錐E-ACD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在底面是菱形的四棱錐P-ABCD,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=
2
a
,點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).證明:
(Ⅰ)PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)PB∥平面EAC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在底面是菱形的四棱錐 P-ABCD中,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,點(diǎn)E、F、G分別為CD、PD、PB的中點(diǎn).PA=AD=2.
(1)證明:PC∥平面FAE;
(2)求二面角F-AE-D的平面角的正切值.

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