Question

【題目】已知雙曲線C： =1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），兩條漸近線的夾角為60°，直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若l過(guò)原點(diǎn)，P為雙曲線上異于A，B的一點(diǎn)，且直線PA，PB的斜率kPA ， kPB均存在，求證：kPAkPB為定值；
（3）若l過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F1 ， 是否存在x軸上的點(diǎn)M（m，0），使得直線l繞點(diǎn)F1無(wú)論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，都有 =0成立？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意得

解得a=1，b=

∴雙曲線C的方程為

（2）

證明：設(shè)A（x0，y0），由雙曲線的對(duì)稱性，可得B（﹣x0，﹣y0）．

設(shè)P（x，y），

則kPAkPB= ，

∵y02=3x02﹣3，y2=3x2﹣3，

所以kPAkPB= =3

（3）

解：由（1）得點(diǎn)F1為（2，0）

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2）

將方程y=k（x﹣2）與雙曲線方程聯(lián)立消去y得：（k2﹣3）x2﹣4k2x+4k2+3=0，

∴x1+x2= ，x1x2=

假設(shè)雙曲線C上存在定點(diǎn)M，使MA⊥MB恒成立，設(shè)為M（m，n）

則 =（x1﹣m）（x2﹣m）+[k（x1﹣2）﹣n][k（x2﹣2）﹣n]

=（k2+1）x1x2﹣（2k2+kn+m）（x1+x2）+m2+4k2+4kn+n2= =0，

故得：（m2+n2﹣4m﹣5）k2﹣12nk﹣3（m2+n2﹣1）=0對(duì)任意的k2＞3恒成立，

∴ ，解得m=﹣1，n=0

∴當(dāng)點(diǎn)M為（﹣1，0）時(shí)，MA⊥MB恒成立；

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由A（2，3），B（2，﹣3）知點(diǎn)M（﹣1，0）使得MA⊥MB也成立．

又因?yàn)辄c(diǎn)（﹣1，0）是雙曲線C的左頂點(diǎn)，

所以雙曲線C上存在定點(diǎn)M（﹣1，0），使MA⊥MB恒成立

【解析】（1）利用雙曲線C： =1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），兩條漸近線的夾角為60°，建立方程，即可求雙曲線C的方程；（2）設(shè)M（x0 ， y0），由雙曲線的對(duì)稱性，可得N的坐標(biāo)，設(shè)P（x，y），結(jié)合題意，又由M、P在雙曲線上，可得y02=3x02﹣3，y2=3x2﹣3，將其坐標(biāo)代入kPMkPN中，計(jì)算可得答案．（3）先假設(shè)存在定點(diǎn)M，使MA⊥MB恒成立，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量級(jí)為0，求得結(jié)論．