Question

【題目】給定橢圓．稱圓心在原點(diǎn)O，半徑為的圓是橢圓C的“準(zhǔn)圓”．若橢圓C的一個焦點(diǎn)為，其短軸上的一個端點(diǎn)到F的距離為．

(1)求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；

(2)點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個動點(diǎn)，過動點(diǎn)P作直線，使得與橢圓C都只有一個交點(diǎn)，試判斷是否垂直？并說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)垂直.

【解析】

試題（1）由“橢圓C的一個焦點(diǎn)為，其短軸上的一個端點(diǎn)到F的距離為”知：從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和“準(zhǔn)圓”的方程；

（2）分兩種情況討論：①當(dāng)中有一條直線斜率不存在；②直線斜率都存在．

對于①可直接求出直線的方程并判斷其是不互相垂直；

對于②設(shè)經(jīng)過準(zhǔn)圓上點(diǎn)與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線為

與橢圓方程聯(lián)立組成方程組消去得到關(guān)于的方程：

由化簡整理得：

而直線的斜率正是方程的兩個根，從而

（1）

橢圓方程為

準(zhǔn)圓方程為

（2）①當(dāng)中有一條無斜率時，不妨設(shè)無斜率，

因為與橢圓只有一個共公點(diǎn)，則其方程為

當(dāng)方程為時，此時與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)

此時經(jīng)過點(diǎn)（或）且與橢圓只有一個公共瞇的直線是（或）

即為（或），顯然直線垂直；

同理可證方程為時，直線也垂直．

②當(dāng)都有斜率時，設(shè)點(diǎn)其中

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線為

則由消去，得

由化簡整理得：

因為，所以有

設(shè)的斜率分別為，因為與橢圓只有一個公共點(diǎn)

所以滿足上述方程

所以，即垂直,

綜合①②知,垂直．