【題目】在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=2,DC=3,平面PDC⊥平面ABCD,E在棱PC上且PE=2EC。

()證明:BE∥平面PAD;

(1)若ΔPDC是正三角形,求三棱錐P-DBE的體積。

【答案】(1) 見證明;(2)

【解析】

(1) 作EF∥DC交PD于點F,連接AF,利用PE=2EC可得FE=2,再利用AB∥DC即可證得四邊形ABEF為平行四邊形,問題得證。

(2)利用平面PDC⊥平面ABCD及AD⊥DC即可證得:AD⊥平面PDC,利用體積轉(zhuǎn)化可得:,再利用錐體體積計算公式即可得解。

(1)證明:作EF∥DC交PD于點F,連接AF,

因為E在棱PC上且PE=2EC,

所以FE=DC=2,

又因為AB∥DC,AB=2,

所以AB∥FE,且AB=FE,

所以四邊形ABEF為平行四邊形,

從而有AF∥BE

又因為BE平面PAD,AF平面PAD,

所以BE∥平面PAD

(2)因為平面PDC⊥平面ABCD,且交線為DC,AD⊥DC,AD平面ABCD

所以AD⊥平面PDC.

因為PE=2EC

所以

即三棱錐P-DBE的體積為。

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