【題目】如圖,在平面直角坐標系xoy中,已知橢圓C: =1(a>b>0)的離心率e= ,左頂點為A(﹣4,0),過點A作斜率為k(k≠0)的直線l交橢圓C于點D,交y軸于點E.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知P為AD的中點,是否存在定點Q,對于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ,若存在,求出點Q的坐標;若不存在說明理由;
(3)若過O點作直線l的平行線交橢圓C于點M,求 的最小值.
【答案】
(1)解:∵橢圓C: =1(a>b>0)的離心率e= ,左頂點為A(﹣4,0),
∴a=4,又 ,∴c=2.…(2分)
又∵b2=a2﹣c2=12,
∴橢圓C的標準方程為 .
(2)解:直線l的方程為y=k(x+4),
由 消元得, .
化簡得,(x+4)[(4k2+3)x+16k2﹣12)]=0,
∴x1=﹣4, .…(6分)
當 時, ,
∴ .
∵點P為AD的中點,∴P的坐標為 ,
則 .…(8分)
直線l的方程為y=k(x+4),令x=0,得E點坐標為(0,4k),
假設存在定點Q(m,n)(m≠0),使得OP⊥EQ,
則kOPkEQ=﹣1,即 恒成立,
∴(4m+12)k﹣3n=0恒成立,∴ ,即 ,
∴定點Q的坐標為(﹣3,0).
(3)解:∵OM∥l,∴OM的方程可設為y=kx,
由 ,得M點的橫坐標為 ,
由OM∥l,得
=
= ,
當且僅當 即 時取等號,
∴當 時, 的最小值為 .
【解析】(1)由橢圓的離心率和左頂點,求出a,b,由此能求出橢圓C的標準方程.(2)直線l的方程為y=k(x+4),與橢圓聯(lián)立,得,(x+4)[(4k2+3)x+16k2﹣12)]=0,由此利用韋達定理、直線垂直,結合題意能求出結果.(3)OM的方程可設為y=kx,與橢圓聯(lián)立得M點的橫坐標為 ,由OM∥l,能求出結果.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足:a1=1,an+1= ,(n∈N*),若bn+1=(n﹣λ)( +1),b1=﹣λ,且數(shù)列{bn}是單調遞增數(shù)列,則實數(shù)λ的取值范圍為 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知點在橢圓: ()上,設, , 分別為左頂點、上頂點、下頂點,且下頂點到直線的距離為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設點, ()為橢圓上兩點,且滿足,求證: 的面積為定值,并求出該定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓M:x2+(y﹣4)2=4,點P是直線l:x﹣2y=0上的一動點,過點P作圓M的切線PA,PB,切點為A,B.
(1)當切線PA的長度為 時,求點P的坐標;
(2)若△PAM的外接圓為圓N,試問:當P在直線l上運動時,圓N是否過定點?若存在,求出所有的定點的坐標;若不存在,說明理由.
(3)求線段AB長度的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,其左、右焦點分別為,點是坐標平面內一點,且, (為坐標原點).
(1)求橢圓的方程;
(2)過點且斜率為的動直線交橢圓于兩點,在軸上是否存在定點,使以為直徑的圓恒過該點?若存在,求出點的坐標,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn , 等比數(shù)列{bn}的公比為q,已知b1=a1 , b2=2,q=d,S10=100.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式
(2)當d>1時,記cn= ,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知向量 , 滿足:| |=2,| |=4
(1)若( ) =﹣20,求向量 與 的夾角及|3 + |
(2)在矩形ABCD中,CD的中點為E,BC的中點為F,設 = , = ,試用向量 , 表示 , ,并求 的值.
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