Question

（2011•福建模擬）如圖，單位圓（半徑為1的圓）的圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，單位圓與y軸的正半軸交與點(diǎn)A，與鈍角α的終邊OB交于點(diǎn)B（x_B，y_B），設(shè)∠BAO=β．
（1）用β表示α； 
（2）如果sinβ=

4

5

，求點(diǎn)B（x_B，y_B）的坐標(biāo)；
（3）求x_B-y_B的最小值．

Answer 1

分析：（1）作出圖形，結(jié)合圖形由∠AOB=α-

π

2

=π-2β，能求出α=

3π

2

-2β．
（2）由sinα=

yB

r

，r=1，得yB=sinα=sin(

3π

2

-2β)=-cos2β=2sin2β-1=2•(

4

5

)2-1=

7

25

．由此能求出點(diǎn)B（x_B，y_B）的坐標(biāo)；
（3）【法一】xB-yB=cosα-sinα=

2

cos(α+

π

4

)，由此能求出x_B-y_B的最小值．
【法二】由α為鈍角，知x_B＜0，y_B＞0，x_B²+y_B²=1，x_B-y_B=-（-x_B+y_B），（-x_B+y_B）²≤2（x_B²+y_B²）=2，由此能求出x_B-y_B的最小值．

解答：解：（1）如圖，∵∠AOB=α-

π

2

=π-2β，
∴α=

3π

2

-2β．4分
（2）由sinα=

yB

r

，又r=1，
得yB=sinα=sin(

3π

2

-2β)
=-cos2β=2sin2β-1=2•(

4

5

)2-1=

7

25

．7分
由鈍角α，
知xB=cosα=-

1-sin2α

=-

24

25

，
∴B(-

24

25

，

7

25

).9分
（3）【法一】xB-yB=cosα-sinα=

2

cos(α+

π

4

)，
又α∈(

π

2

，π)，α+

π

4

∈(

3π

4

，

5π

4

)，
cos(α+

π

4

)∈[-1，-

2

2

)，
∴x_B-y_B的最小值為-

2

13分
【法二】α為鈍角，
∴x_B＜0，y_B＞0，
x_B²+y_B²=1，
x_B-y_B=-（-x_B+y_B），
（-x_B+y_B）²≤2（x_B²+y_B²）=2，
∴xB-yB≥-

2

，
∴x_B-y_B的最小值為-

2

．13分

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，是高考的常見題型．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意三角函數(shù)恒等變換的靈活運(yùn)用．