(2011•福建模擬)如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且AB=AD=
12
CD=1

現(xiàn)以AD為一邊向形外作正方形ADEF,然后沿邊AD將正方形ADEF翻折,使平面ADEF與平面ABCD垂直,M為ED的中點(diǎn),如圖2.
(1)求證:AM∥平面BEC;
(2)求證:BC⊥平面BDE;
(3)求三棱錐D-BCE的體積.
分析:(1)取EC中點(diǎn)N,連接MN,BN,證明BN∥AM.說(shuō)明BN?平面BEC,且AM?平面BEC,即可證明AM∥平面BEC;
(2)先證明ED⊥BC,BC⊥BD,ED∩BD=D,即可證明BC⊥平面BDE;
(3)利用VE-BCD=VD-BCE,求出底面DCB的面積,高DE,即可求三棱錐D-BCE的體積.
解答:解:(1)證明:取EC中點(diǎn)N,M是EC的中點(diǎn),連接MN,BN.
在△EDC中,M,N分別為ED,EC的中點(diǎn),
所以MN∥CD,且MN=
1
2
CD

由已知AB∥CD,AB=
1
2
CD
,
所以MN∥AB,且MN=AB.         (3分)
所以四邊形ABNM為平行四邊形.
所以BN∥AM.                              (4分)
又因?yàn)锽N?平面BEC,且AM?平面BEC,
所以AM∥平面BEC.                          (4分)
(2)證明:在正方形ADEF中,ED⊥AD.
又因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,
所以ED⊥平面ABCD.
所以ED⊥BC.                (6分)
在直角梯形ABCD中,AB=AD=1,CD=2,可得BC=
2

在△BCD中,BD=BC=
2
,CD=2
,所以BD2+BC2=CD2
所以BC⊥BD.
所以BC⊥平面BDE.                 (8分)
(3)由(2)知,BC⊥BE,BC⊥BD
所以S△BCD=
1
2
BD•BC=
1
2
2
2
=1
,又因?yàn)镋D⊥平面ABCD,DE=1
∴VE-BCD=VD-BCE=
1
3
S△BCD•DE=
1
3
(12分)
點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查直線(xiàn)與平面的平行與垂直的證明方法,幾何體的體積的解法,考查空間想象能力、計(jì)算能力,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,判定定理的正確應(yīng)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•福建模擬)如圖,單位圓(半徑為1的圓)的圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn),單位圓與y軸的正半軸交與點(diǎn)A,與鈍角α的終邊OB交于點(diǎn)B(xB,yB),設(shè)∠BAO=β.
(1)用β表示α; 
(2)如果sinβ=
45
,求點(diǎn)B(xB,yB)的坐標(biāo);
(3)求xB-yB的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•福建模擬)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ2=
364cos2θ+9sin2θ

(Ⅰ)若以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸所在的直線(xiàn)為x軸,求曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程.
(Ⅱ)若P(x,y)是曲線(xiàn)C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求3x+4y的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•福建模擬)已知函數(shù)f(x)=2x-2lnx
(Ⅰ)求函數(shù)在(1,f(1))的切線(xiàn)方程
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極值
(Ⅲ)對(duì)于曲線(xiàn)上的不同兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),如果存在曲線(xiàn)上的點(diǎn)Q(x0,y0),且x1<x0<x2,使得曲線(xiàn)在點(diǎn)Q處的切線(xiàn)l∥P1P2,則稱(chēng)l為弦P1P2的陪伴切線(xiàn).已知兩點(diǎn)A(1,f(1)),B(e,f(e)),試求弦AB的陪伴切線(xiàn)l的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•福建模擬)給出以下四個(gè)結(jié)論:
(1)若關(guān)于x的方程x-
1
x
+k=0
在x∈(0,1)沒(méi)有實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是k≥2
(2)曲線(xiàn)y=1+
4-x2
(|x|≤2)
與直線(xiàn)y=k(x-2)+4有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)k的取值范圍是(
5
12
,
3
4
]

(3)已知點(diǎn)P(a,b)與點(diǎn)Q(1,0)在直線(xiàn)2x-3y+1=0兩側(cè),則3b-2a>1;
(4)若將函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
3
)
的圖象向右平移?(?>0)個(gè)單位后變?yōu)榕己瘮?shù),則?的最小值是
π
12
,其中正確的結(jié)論是:
(2)(3)(4)
(2)(3)(4)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案