Question

已知函數(shù)，且是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)．
（I）求實(shí)數(shù)a的值，并確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得函數(shù)?（x）=f（x）-m有兩個(gè)零點(diǎn)；
（II）是否存在這樣的直線l，同時(shí)滿足：①l是函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線；  ②l與函數(shù)y=g（x）的圖象相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），x₀∈[e^-1，e]，如果存在，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（I）x＞0時(shí)，f（x）=（x²-2ax）e^x，∴f'（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x，
由已知，∴，∴
得a=1，所以x＞0時(shí)，f（x）=（x²-2x）e^x，∴f'（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x．
令f'（x）=0得舍去）．

當(dāng)x＞0時(shí)，
當(dāng)時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)f（x）單調(diào)遞增，∴x＞0時(shí)，
要使函數(shù)?（x）=f（x）-m有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程f（x）-m=0有兩不相等的實(shí)數(shù)根，也即函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
（1）當(dāng)b＞0時(shí)，m=0或；
（2）當(dāng)b=0時(shí)，；
（3）當(dāng)b＜0時(shí)，．
（II）假設(shè)存在，x＞0時(shí)，f（x）=（x²-2x）e^x，f'（x）=（x²-2）e^x，∴f（2）=0，f'（2）=2e²．
函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線l的方程為：y=2e²（x-2），
因直線l與函數(shù)g（x）的圖象相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），x₀∈[e^-1，e]，∴y₀=clnx₀+b.，
所以切線l的斜率為，
所以切線l的方程為：即l的方程為：，
得．
得b=2e²（x₀-x₀lnx₀-2）其中x₀∈[e^-1，e]
記h（x₀）=2e²（x₀-x₀lnx₀-2）其中x₀∈[e^-1，e]，h'（x₀）=-2e²lnx₀，
令h'（x₀）=0，得x₀=1．

又h（e）=-4e²，h（e^-1）=4e-4e²＞-4e²．∵x₀∈[e^-1，e]，∴h（x₀）∈[-4e²，-2e²]，
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為：b|-4e²≤b≤-2e²．
分析：（Ⅰ）先求出其導(dǎo)函數(shù)，利用x=是函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)，求出a的值，進(jìn)而求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性；函數(shù)y=f（x）-m有兩個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間，畫出草圖，結(jié)合圖象即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（II）利用導(dǎo)函數(shù)分別求出兩個(gè)函數(shù)的切線方程，利用方程相等，對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等即可求出關(guān)于實(shí)數(shù)b的等式，再借助于其導(dǎo)函數(shù)即可求出實(shí)數(shù)b的取值范圍．（注意范圍限制）．
點(diǎn)評(píng)：本題第一問主要研究利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，一般結(jié)論是：導(dǎo)數(shù)大于0對(duì)應(yīng)區(qū)間為原函數(shù)的遞增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0對(duì)應(yīng)區(qū)間為原函數(shù)的遞減區(qū)間．