Question

已知函數(shù)，且是函數(shù)y=f（x）的極值點．
（I）求實數(shù)a的值，并確定實數(shù)m的取值范圍，使得函數(shù)ϕ（x）=f（x）-m有兩個零點；
（II）是否存在這樣的直線l，同時滿足：①l是函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線；  ②l與函數(shù)y=g（x）的圖象相切于點P（x，y），x∈[e^-1，e]，如果存在，求實數(shù)b的取值范圍；不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出其導(dǎo)函數(shù)，利用x=是函數(shù)y=f（x）的極值點對應(yīng) ，求出a的值，進而求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性；函數(shù)y=f（x）-m有兩個零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點，利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間，畫出草圖，結(jié)合圖象即可求出實數(shù)m的取值范圍．
（II）利用導(dǎo)函數(shù)分別求出兩個函數(shù)的切線方程，利用方程相等，對應(yīng)項系數(shù)相等即可求出關(guān)于實數(shù)b的等式，再借助于其導(dǎo)函數(shù)即可求出實數(shù)b的取值范圍．（注意范圍限制）．
解答：解：（I）x＞0時，f（x）=（x²-2ax）e^x，∴f'（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x，
由已知，∴，∴
得a=1，所以x＞0時，f（x）=（x²-2x）e^x，∴f'（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x．（3分）
令f'（x）=0得舍去）．

當x＞0時，
當時，f（x）單調(diào)遞減，
當f（x）單調(diào)遞增，∴x＞0時，
要使函數(shù)ϕ（x）=f（x）-m有兩個零點，即方程f（x）-m=0有兩不相等的實數(shù)根，也即函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點．
（1）當b＞0時，m=0或；
（2）當b=0時，；
（3）當b＜0時，．（6分）
（II）假設(shè)存在，x＞0時，f（x）=（x²-2x）e^x，f'（x）=（x²-2）e^x，∴f（2）=0，f'（2）=2e²．
函數(shù)f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線l的方程為：y=2e²（x-2），
因直線l與函數(shù)g（x）的圖象相切于點P（x，y），x∈[e^-1，e]，∴y=clnx+b.，
所以切線l的斜率為，
所以切線l的方程為：即l的方程為：，
得．
得b=2e²（x-xlnx-2）其中x∈[e^-1，e]（10分）
記h（x）=2e²（x-xlnx-2）其中x∈[e^-1，e]，h'（x）=-2e²lnx，
令h'（x）=0，得x=1．

又h（e）=-4e²，h（e^-1）=4e-4e²＞-4e²．∵x∈[e^-1，e]，∴h（x）∈[-4e²，-2e²]，
所以實數(shù)b的取值范圍為：b|-4e²≤b≤-2e²．（14分）
點評：本題第一問主要研究利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時，一般結(jié)論是：導(dǎo)數(shù)大于0對應(yīng)區(qū)間為原函數(shù)的遞增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0對應(yīng)區(qū)間為原函數(shù)的遞減區(qū)間．