Question

對(duì)于n∈N⁺，將n 表示n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，當(dāng)i=0時(shí)，a_i=1，當(dāng)1≤i≤k時(shí)，a₁為0或1．記I（n）為上述表示中a_i為0的個(gè)數(shù)（例如：1=1×2⁰，4=1×2²+0×2¹+0×2⁰，故I（1）=0，I（4）=2），則
（1）I（12）=

 

；（2）

127

n=1

2I(n)=

 

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，分析可得，將n 表示n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，實(shí)際是將十進(jìn)制的數(shù)轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制的數(shù)，易得12=1×2³+1×2²+0×2¹+0×2⁰，由I（n）的意義，可得答案；
（2）將n分為n=127，64≤n≤126，32≤n≤63，…n=1等7種情況，有組合數(shù)的性質(zhì)，分析其中I（n）的取值情況，與二項(xiàng)式定理結(jié)合，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的前7項(xiàng)和，計(jì)算可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，12=1×2³+1×2²+0×2¹+0×2⁰，則I（12）=2；
（2）127=1×2⁶+1×2⁵+1×2⁴+1×2³+1×2²+1×2¹+1×2⁰，
設(shè)64≤n≤126，且n為整數(shù)；
則n=1×2⁶+a₁×2⁵+a₂×2⁴+a₃×2³+a₄×2²+a₅×2¹+a₆×2⁰，
a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆中6個(gè)數(shù)都為0或1，
其中沒有一個(gè)為1時(shí)，有C₆⁰種情況，即有C₆⁰個(gè)I（n）=6；
其中有一個(gè)為1時(shí)，有C₆¹種情況，即有C₆¹個(gè)I（n）=5；
其中有2個(gè)為1時(shí)，有C₆²種情況，即有C₆²個(gè)I（n）=4；
…
 

127

n=64

2^I（n）=C₆⁰2⁶+C₆¹×2⁵+C₆²×2⁴+C₆³×2³+C₆⁴×2²+C₆⁵×2+1=（2+1）ⁿ=3⁶，
同理可得：

63

n=32

2I(n)=3⁵，
…

3

n=2

2I(n)=3¹，
2^I（1）=1；
則 

127

n=1

2I(n)=1+3+3²+…+3⁶=

37-1

3-1

=1093；
故答案為：（1）2；（2）1093．

點(diǎn)評(píng)：解本題關(guān)鍵在于分析題意，透徹理解I（n）的含義 

127

n=1

2I(n)的運(yùn)算，注意轉(zhuǎn)化思想，結(jié)合二項(xiàng)式定理與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算．