Question

（2012•湖南）對于n∈N^*，將n表示為n=ak×2k+ak-1×2k-1+…+a1×21+a0×20，當i=k時，a_i=1，當0≤i≤k-1時，a_i為0或1．定義b_n如下：在n的上述表示中，當a₀，a₁，a₂，…，a_k中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時，b_n=1；否則b_n=0．
（1）b₂+b₄+b₆+b₈=

3

；
（2）記c_m為數(shù)列{b_n}中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數(shù)，則c_m的最大值是

2

．

Answer 1

分析：（1）由題設定義可知，2=1×2，4=1×2²，6=1×2²+1×2，8=1×2³，從而b₂=1，b₄=1，b₆=0，b₈=1，故可求b₂+b₄+b₆+b₈的值；
（2）設{b_n}中第m個為0的項為b_i，即b_i=0，構造二進制數(shù)（i）₁₀=（a_ka_k-1…a₁a₀）₂，則a_ka_k-1…a₁a₀中1的個數(shù)為偶數(shù)，再進行分類討論：當a₂a₁a₀=000時，c_m=2；當a₂a₁a₀=001時，c_m=0；當a₂a₁a₀=010時，c_m=1；當a₂a₁a₀=011時，c_m=0；當a₂a₁a₀=100時，c_m=2；當a₂a₁a₀=101時，c_m=0；當a₀=0，前面有奇數(shù)個1時，c_m=1； 當a₀=0，前面有偶數(shù)個1時，c_m=2；當末位有奇數(shù)個1時，c_m=1；當末位有偶數(shù)個1時，c_m=0，由此可得c_m的最大值．

解答：解：（1）由題設定義可知，2=1×2，4=1×2²，6=1×2²+1×2，8=1×2³，∴b₂=1，b₄=1，b₆=0，b₈=1
∴b₂+b₄+b₆+b₈=3
（2）設{b_n}中第m個為0的項為b_i，即b_i=0，構造二進制數(shù)（i）₁₀=（a_ka_k-1…a₁a₀）₂，則a_ka_k-1…a₁a₀中1的個數(shù)為偶數(shù)，當a₂a₁a₀=000時，b_i+1=1，b_i+2=1，b_i+3=0，c_m=2；
當a₂a₁a₀=001時，b_i+1=0，c_m=0；當a₂a₁a₀=010時，b_i+1=1，b_i+2=0，c_m=1；當a₂a₁a₀=011時，b_i+1=0，c_m=0；當a₂a₁a₀=100時，b_i+1=1，b_i+2=1，b_i+3=0，c_m=2；當a₂a₁a₀=101時，b_i+1=0，c_m=0；當a₀=0，前面有奇數(shù)個1時，b_i+1=1，b_i+2=0，c_m=1； 當a₀=0，前面有偶數(shù)個1時，b_i+1=1，b_i+2=1，b_i+3=0，c_m=2；當末位有奇數(shù)個1時，b_i+1=1，b_i+2=0，c_m=1；當末位有偶數(shù)個1時，b_i+1=1，b_i+2=0，c_m=0；故c_m的最大值為2．

點評：對于新定義型問題，正確理解新定義傳遞的信息是解題的突破口．