Question

【題目】某農(nóng)場(chǎng)預(yù)算用5600元購買單價(jià)為50元（每噸）的鉀肥和20元（每噸）的氮肥，希望使兩種肥料的總數(shù)量（噸）盡可能的多，但氮肥數(shù)不少于鉀肥數(shù)，且不多于鉀肥數(shù)的1.5倍．
（Ⅰ）設(shè)買鉀肥x噸，買氮肥y噸，按題意列出約束條件、畫出可行域，并求鉀肥、氮肥各買多少才行？
（Ⅱ）已知A（10，0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P（x，y）在（Ⅰ）中的可行域內(nèi)，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)肥料總數(shù)為z，z=x+y，
由題意得約束條件 ，即
畫出可行域（如圖）
目標(biāo)函數(shù)：z=x+y，即y=﹣x+z，
表示斜率為﹣1，y軸上截距為z的平行直線系．
當(dāng)直線過點(diǎn)N時(shí)，z最大．
聯(lián)立方程 ，解得N（70，105）
此時(shí)zmax=x+y=70+105=175．
∴購買鉀肥70噸，氮肥105噸時(shí)，兩種肥料的總數(shù)量最大為175噸
（Ⅱ） ， ，θ為 的夾角，∴s=10cosθ．有圖可知：
當(dāng)點(diǎn)P在線段OM時(shí)，cosθ最大為 ，此時(shí)s最大值為 ；
當(dāng)點(diǎn)P在線段ON時(shí)，cosθ最小為 ，此時(shí)s最小值為 ．
∴
另解： ， ，
代入可得
【解析】（Ⅰ）設(shè)肥料總數(shù)為z，z=x+y，列出約束條件，畫出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最值．（Ⅱ）利用向量的數(shù)量積，化簡(jiǎn)目標(biāo)函數(shù)，通過可行域，判斷s的最值即可．另解轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為直線的斜率，求解即可．