Question

已知平面區(qū)域D由以A（1，3），B（5，2），C（3，1）為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部以及邊界組成．若在區(qū)域D上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)（x，y）可使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值，則m=（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．4

Answer 1

【答案】分析：將目標(biāo)函數(shù)z=x+my化成斜截式方程后得：y=-x+z，若m＞0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值Z與直線(xiàn)族：y=-x+z截距同號(hào)，當(dāng)直線(xiàn)族y=-x+z的斜率與直線(xiàn)AC的斜率相等時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè)；若m＜0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值Z與直線(xiàn)族：y=-x+z截距異號(hào)，當(dāng)直線(xiàn)族y=-x+z的斜率與直線(xiàn)BC的斜率相等時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè)．但由于A(yíng)C與BC的斜率為負(fù)，則不滿(mǎn)足第二種情況，由此不難得到m的值．
解答：解：依題意，滿(mǎn)足已知條件的三角形如下圖示：
令z=0，可得直線(xiàn)x+my=0的斜率為-，
結(jié)合可行域可知當(dāng)直線(xiàn)x+my=0與直線(xiàn)AC平行時(shí)，
線(xiàn)段AC上的任意一點(diǎn)都可使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值，
而直線(xiàn)AC的斜率為=-1，
所以-=-1，解得m=1，
故選C．

增加網(wǎng)友的解法，相當(dāng)巧妙值得體會(huì)！請(qǐng)看：
依題意，1+3m=5+2m＜3+m，或1+3m=3+m＜5+2m，或3+m=5+2m＜1+3m
解得 m∈空集，或m=1，或m∈空集，
所以m=1，選C．
評(píng)析：此解法妙在理解了在邊界處取到最小值這個(gè)命題的內(nèi)蘊(yùn)，區(qū)域的三個(gè)頂點(diǎn)中一定有兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是最優(yōu)解，故此兩點(diǎn)處函數(shù)值相等，小于第三個(gè)頂點(diǎn)處的目標(biāo)函數(shù)值，本題略去了判斷最優(yōu)解取到位置的判斷，用三個(gè)不等式概括了三種情況，從而解出參數(shù)的范圍，此方法可以在此類(lèi)求參數(shù)的題中推廣，具有一般性！
點(diǎn)評(píng)：目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，處理方法一般是：①將目標(biāo)函數(shù)的解析式進(jìn)行變形，化成斜截式；②分析Z與截距的關(guān)系，是符號(hào)相同，還是相反；③根據(jù)分析結(jié)果，結(jié)合圖形做出結(jié)論④根據(jù)斜率相等求出參數(shù)．