已知平面區(qū)域D由以A(1,3),B(5,2),C(3,1)為頂點的三角形內(nèi)部以及邊界組成.若在區(qū)域D上有無窮多個點(x,y)可使目標函數(shù)z=x+my取得最小值,則m=


  1. A.
    -2
  2. B.
    -1
  3. C.
    1
  4. D.
    4
C
分析:將目標函數(shù)z=x+my化成斜截式方程后得:y=-x+z,若m>0時,目標函數(shù)值Z與直線族:y=-x+z截距同號,當直線族y=-x+z的斜率與直線AC的斜率相等時,目標函數(shù)z=x+my取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)多個;若m<0時,目標函數(shù)值Z與直線族:y=-x+z截距異號,當直線族y=-x+z的斜率與直線BC的斜率相等時,目標函數(shù)z=x+my取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)多個.但由于AC與BC的斜率為負,則不滿足第二種情況,由此不難得到m的值.
解答:解:依題意,滿足已知條件的三角形如下圖示:
令z=0,可得直線x+my=0的斜率為-,
結(jié)合可行域可知當直線x+my=0與直線AC平行時,
線段AC上的任意一點都可使目標函數(shù)z=x+my取得最小值,
而直線AC的斜率為=-1,
所以-=-1,解得m=1,
故選C.
增加網(wǎng)友的解法,相當巧妙值得體會!請看:
依題意,1+3m=5+2m<3+m,或1+3m=3+m<5+2m,或3+m=5+2m<1+3m
解得 m∈空集,或m=1,或m∈空集,
所以m=1,選C.
評析:此解法妙在理解了在邊界處取到最小值這個命題的內(nèi)蘊,區(qū)域的三個頂點中一定有兩個頂點的坐標是最優(yōu)解,故此兩點處函數(shù)值相等,小于第三個頂點處的目標函數(shù)值,本題略去了判斷最優(yōu)解取到位置的判斷,用三個不等式概括了三種情況,從而解出參數(shù)的范圍,此方法可以在此類求參數(shù)的題中推廣,具有一般性!
點評:目標函數(shù)的最優(yōu)解有無數(shù)多個,處理方法一般是:①將目標函數(shù)的解析式進行變形,化成斜截式;②分析Z與截距的關系,是符號相同,還是相反;③根據(jù)分析結(jié)果,結(jié)合圖形做出結(jié)論④根據(jù)斜率相等求出參數(shù).
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A、-2B、-1C、1D、4

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A.-2
B.-1
C.1
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