已知數(shù)列an滿足a1+a2+…+an=n2(n∈N*).
(1)求數(shù)列an的通項公式;
(2)對任意給定的k∈N*,是否存在p,r∈N*(k<p<r)使
1
ak
,  
1
ap
,  
1
ar
成等差數(shù)列?若存在,用k分別表示p和r(只要寫出一組);若不存在,請說明理由;
(3)證明:存在無窮多個三邊成等比數(shù)列且互不相似的三角形,其邊長為an1,an2,an3
分析:(1)當(dāng)n=1時,a1=1;當(dāng)n≥2,n∈N*時,a1+a2++an-1=(n-1)2,由此能求出數(shù)列an的通項公式.
(2)當(dāng)k=1時,若存在p,r使
1
ak
,  
1
ap
,  
1
ar
成等差數(shù)列,則
1
ar
=
2
ap
-
1
ak
=
3-2p
2p-1
,再由題設(shè)條件分類討論知當(dāng)k=1時,不存在p,r;當(dāng)k≥2時,存在p=2k-1,r=4k2-5k+2滿足題設(shè).
(3)作如下構(gòu)造:an1=(2k+3)2,  an2=(2k+3)(2k+5),   an3=(2k+5)2,其中k∈N*,它們依次為數(shù)列an中的第2k2+6k+5項,第2k2+8k+8項,第2k2+10k+13項,顯然它們成等比數(shù)列,且an1an2an3,所以它們能組成三角形.由k∈N*的任意性,這樣的三角形有無窮多個.再用反證法證明其中任意兩個三角形A1B1C1和A2B2C2不相似.
解答:解:(1)當(dāng)n=1時,a1=1;
當(dāng)n≥2,n∈N*時,a1+a2++an-1=(n-1)2
所以an=n2-(n-1)2=2n-1;
綜上所述,an=2n-1(n∈N*).(3分)
(2)當(dāng)k=1時,若存在p,r使
1
ak
,  
1
ap
,  
1
ar
成等差數(shù)列,則
1
ar
=
2
ap
-
1
ak
=
3-2p
2p-1
,
因為p≥2,所以ar<0,與數(shù)列an為正數(shù)相矛盾,因此,當(dāng)k=1時不存在;(5分)
當(dāng)k≥2時,設(shè)ak=x,ap=y,ar=z,則
1
x
+
1
z
=
2
y
,所以z=
xy
2x-y
,(7分)
令y=2x-1,得z=xy=x(2x-1),此時ak=x=2k-1,ap=y=2x-1=2(2k-1)-1,
所以p=2k-1,ar=z=(2k-1)(4k-3)=2(4k2-5k+2)-1,所以r=4k2-5k+2;
綜上所述,當(dāng)k=1時,不存在p,r;
當(dāng)k≥2時,存在p=2k-1,r=4k2-5k+2滿足題設(shè).(10分)
(3)作如下構(gòu)造:an1=(2k+3)2,  an2=(2k+3)(2k+5),   an3=(2k+5)2,其中k∈N*
它們依次為數(shù)列an中的第2k2+6k+5項,第2k2+8k+8項,第2k2+10k+13項,(12分)
顯然它們成等比數(shù)列,且an1an2an3,an1+an2an3,所以它們能組成三角形.
由k∈N*的任意性,這樣的三角形有無窮多個.(14分)
下面用反證法證明其中任意兩個三角形A1B1C1和A2B2C2不相似:
若三角形A1B1C1和A2B2C2相似,且k1≠k2,則
(2k1+3)(2k1+5)
(2k1+3)2
=
(2k2+3)(2k2+5)
(2k2+3)2
,
整理得
2k1+5
2k1+3
=
2k2+5
2k2+3
,所以k1=k2,這與條件k1≠k2相矛盾,
因此,任意兩個三角形不相似.
故命題成立.(16分)
點評:本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時要注意合理地構(gòu)造函數(shù)進行求解.
練習(xí)冊系列答案
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an+1
2an
=1+
1
n
;
(Ⅰ)求數(shù)列an的通項公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{
an
n
}
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an
an-1
=
2-3an
an-1+2

(1)求證:數(shù)列{
1
an
}
為等差數(shù)列;
(2)求{
3n
an
}
的前n項和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列an滿足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=
n
2
(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項;
(Ⅱ)若bn=
n
an
求數(shù)列{bn}的前n項和Sn

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