已知數(shù)列an滿足a1=2,
an+1
2an
=1+
1
n
;
(Ⅰ)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若數(shù)列{
an
n
}
的前n項(xiàng)和為Sn,試比較an-Sn與2的大。
分析:(Ⅰ)由
an+1
2an
=1+
1
n
,得
an+1
n+1
=
2
an+1
n
,故
an
n
=(
2
)
n
由此能求出an
(Ⅱ)由Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,知2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1,所以Sn=(n-1)×2n+1+2,由此能夠推導(dǎo)出an-Sn>2.
解答:解:(Ⅰ)由
an+1
2an
=1+
1
n
,得
a
 
n+1
n+1
=
2
an
n
,
∴數(shù)列{
an
n
}
是以
2
為首項(xiàng),
2
為公比的等比數(shù)列.
an
n
=(
2
)
n
得an=n2•2n(n∈N+)(5分)
(Ⅱ)由條件知:
Sn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n,①
∴2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)×2n+n×2n+1,②
①-②得-Sn=2+22+…+2n-n×2n+1=
2(1-2n)
1-2
-n×2n+1

整理得:Sn=(n-1)×2n+1+2,(9分)
∴an-Sn-2=n2×2n-(n-1)×2n+1-4=[(n-1)2+1]×2n-4,
∵n∈N+,∴n=1時(shí),an-Sn-2<0,∴an-Sn<2
n≥2時(shí),an-Sn>2,∴an-Sn>2.(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列前n項(xiàng)和的求法,利用數(shù)列的性質(zhì)比較比較an-Sn與2的大小,解題時(shí)要注意數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列an滿足a1=1,且4an+1-anan+1+2an=9(n∈N*
(1)求a1,a2,a3,a4的值;
(2)由(1)猜想an的通項(xiàng)公式,并給出證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列an滿足a1=1,n≥2時(shí),
an
an-1
=
2-3an
an-1+2

(1)求證:數(shù)列{
1
an
}
為等差數(shù)列;
(2)求{
3n
an
}
的前n項(xiàng)和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列an滿足a1+a2+…+an=n2(n∈N*).
(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;
(2)對(duì)任意給定的k∈N*,是否存在p,r∈N*(k<p<r)使
1
ak
,  
1
ap
,  
1
ar
成等差數(shù)列?若存在,用k分別表示p和r(只要寫出一組);若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)證明:存在無(wú)窮多個(gè)三邊成等比數(shù)列且互不相似的三角形,其邊長(zhǎng)為an1,an2,an3

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列an滿足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=
n
2
(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng);
(Ⅱ)若bn=
n
an
求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案