如圖，在四棱錐中，平面平面，，是等邊三角形，已知.

（1）設(shè)是上的一點(diǎn)，證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

 

【答案】

（1）詳見(jiàn)試題解析；（2）二面角的余弦值為.

【解析】

試題分析：（1）由勾股定理得：。根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得平面

再由面面垂直的判定定理得：平面平面；

（2）思路一、由于，故可以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法可求得二面角的余弦值.

思路二、作出二面角的平面角，然后求平面角的余弦值.

由（1）知平面，所以平面平面

過(guò)作的垂線(xiàn)，該垂線(xiàn)即垂直平面

再過(guò)垂足作的垂線(xiàn)，將垂足與點(diǎn)連起來(lái)，便得二面角的平面角

試題解析：（1）證明：在中，由于,,,

,故.

又，

，，又，

故平面平面                                              5分

（2）法一、如圖建立空間直角坐標(biāo)系，, ,

 

  , .

設(shè)平面的法向量, 由

令, .

設(shè)平面的法向量, 由

即，令

,二面角的余弦值為          12分

法二、

由（1）知平面，所以平面平面

過(guò)作交于，則平面

再過(guò)作交于，連結(jié)，則就是二面角的平面角

由題設(shè)得。由勾股定理得：

所以.

二面角的余弦值為                                      12分

考點(diǎn)：1、面面垂直的性質(zhì)和判定定理；2、二面角的求法

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

18、如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，N是PB中點(diǎn)，過(guò)A、N、D三點(diǎn)的平面交PC于M．
（1）求證：DP∥平面ANC；
（2）求證：M是PC中點(diǎn)；
（3）求證：平面PBC⊥平面ADMN．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的菱形，且∠BAD=60°，N是PB的中點(diǎn)，過(guò)A，D，N的平面交PC于M，E是AD的中點(diǎn)．
（1）求證：BC⊥平面PEB；
（2）求證：M為PC的中點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在四棱錐中，側(cè)面

是正三角形，且與底面垂直，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，是中點(diǎn)，過(guò)、、三點(diǎn)的平面交于． 

(1)求證：；   (2)求證：是中點(diǎn)；(3)求證：平面⊥平面.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

(本小題滿(mǎn)分12分)

如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點(diǎn)。

   （1）點(diǎn)在線(xiàn)段上，，

試確定的值，使平面；

   （2）在（1）的條件下，若平面平

面ABCD，求二面角的大小。

 

 

 

 

 

 

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

(本小題滿(mǎn)分12分)

如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，為的中點(diǎn)。

   （1）點(diǎn)在線(xiàn)段上，，

試確定的值，使平面；

   （2）在（1）的條件下，若平面平

面ABCD，求二面角的大小。

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