【題目】已知正方形ABCD的邊長為2,ACBD=O.將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起,使AC=a,得到三棱錐A-BCD,如圖所示.

(1)當(dāng)a=2時(shí),求證:AO平面BCD.

(2)當(dāng)二面角A-BD-C的大小為120°時(shí),求二面角A-BC-D的正切值.

【答案】(1)見解析 (2)

【解析】

(1)根據(jù)題意,AOC,AC=a=2,AO=CO=,

所以AC2=AO2+CO2,所以AOCO.

AOBD,BDCO=O,

所以AO平面BCD.

(2)折疊后,BDAO,BDCO.所以AOC是二面角A-BD-C的平面角,AOC=120°.AOC,AO=CO=,所以AC=.

如圖,過點(diǎn)ACO的垂線交CO延長線于點(diǎn)H,

因?yàn)?/span>BDCO,BDAO,COAO=O,所以BD平面AOC.因?yàn)?/span>AH平面AOC,所以BDAH.

COAH,COBD=O,所以AH平面BCD.所以AHBC.過點(diǎn)AAKBC,垂足為K,連接HK,因?yàn)?/span>BCAH,AKAH=A,所以BC平面AHK.因?yàn)?/span>HK平面AHK,所以BCHK.所以AKH為二面角A-BC-D的平面角.

AOH,AH=,OH=,所以CH=CO+OH=+=.

RtCHK,HK==,

RtAHK,tanAKH===.

所以二面角A-BC-D的正切值為.

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注:尺寸數(shù)據(jù)在內(nèi)的零件為合格品,頻率作為概率.

(Ⅰ) 從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件,合格品的個(gè)數(shù)為,求的分布列與期望;

(Ⅱ) 從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件,全是合格品的概率不小于,求的最大值;

(Ⅲ) 為了提高產(chǎn)品合格率,現(xiàn)提出兩種不同的改進(jìn)方案進(jìn)行試驗(yàn).若按方案進(jìn)行試驗(yàn)后,隨機(jī)抽取件產(chǎn)品,不合格個(gè)數(shù)的期望是;若按方案試驗(yàn)后,抽取件產(chǎn)品,不合格個(gè)數(shù)的期望是,你會(huì)選擇哪個(gè)改進(jìn)方案?

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