Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三視圖如圖所示，且D是BC的中點(diǎn)，
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）試問線段A₁B₁上是否存在點(diǎn)E，使AE與DC₁成60°角？若存在，確定E點(diǎn)位置，若不存在，說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）證明：根據(jù)三視圖知：三棱柱是直三棱柱， ，， 連結(jié)，交于點(diǎn)O，連結(jié)OD， 由是直三棱柱， 得四邊形為矩形， O為A1C的中點(diǎn)， 又D為BC中點(diǎn)， 所以O(shè)D為中位線， 所以∥OD，              因?yàn)?IMG style="WIDTH: 41px; HEIGHT: 18px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/20120530101929112779.png">平面，平面， 所以∥平面。

（Ⅱ）解：由是直三棱柱， 且， 故兩兩垂直， 如圖建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz ，       ∵BA=2， 則， 所以，， 設(shè)平面的法向量為， 則有所以， 取y=1，得， 易知平面ADC的法向量為， 由二面角是銳角， 得， 所以二面角的余弦值為。 （Ⅲ）解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E， 因?yàn)镋 在線段上，，， 故可設(shè)，其中， 所以，， 因?yàn)?IMG style="WIDTH: 26px; HEIGHT: 16px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/20120530101930369679.png">與成60°角， 所以，即， 解得λ=1，舍去λ=3， 所以當(dāng)點(diǎn)E為線段中點(diǎn)時(shí)，AE與DC1成60°角。